Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х=х₀— точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки х₀, но не определена в самой точке х₀.

Например, функция у1/(x-2) не определена в точке х₀=2 (см. рис. 120).

2. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х→х₀. Например, функция

определена в точке х₀=2 (ƒ(2)=0), однако в точке х₀=2 имеет разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при х→2:

3. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, существует но этот предел не равен значению функции в точке x₀:

Например, функция (см. рис. 122)

Здесь x₀=0 — точка разрыва: a g(х₀)=g(0)=2.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции у=ƒ(х), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.

При этом:

а) если А₁=А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;
б) если А₁≠А₂, то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

Величину |A₁-А₂| называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у=ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120). у=1/(x-2) x₀=2 -точка разрыва второго рода.

2. Для функции

х₀=2 является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен |1-0|=1.

3. Для функции

х₀=0 является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(х)=1 (вместо g(х)=2) при х=0, разрыв устранится, функция станет непрерывной

<< Пример 19.3

Дана функция ƒ(х)=|x-3|/(x-3). Найти точки разрыва, выяснить их тип.

Решение: Функция ƒ (х) определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х=3. Очевидно,

Следовательно,

Поэтому в точке х=3 функция имеет разрыв пещюго рода. Скачок функции в этой точке равен 1-(-1)=2.