Числовая последовательность

Под числовой последовательностью х₁, х₂, x₃,..., х_n... понимается функция

x_n=f(n) (15.1)

заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде {х_n} или х_n, nєN. Число x₁ называется первым членом (элементом) последовательности, х₂ — вторым,..., хn — общим или n-м членом последовательности.

Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. Формула (15.1) позволяет вычислить любой член последовательности по номеру, по ней можно сразу вычислить любой член последовательности. Так, равенства

задают соответственно последовательности

Последовательность {х_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого nєN выполняется неравенство

|х_n|≤М.

В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности у_nи u_n ограничены, а ν_n и z_n — неограничены.

Последовательность {х_n} называется возрастающей (неубывающей), если для любого п выполняется неравенство a_n+1>a_n (a_n+1≥а_n). Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности v_n, y_n, u_nмонотонные, a z_n — не монотонная.

Если все элементы последовательности {х_n} равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.

Другой способ задания числовых последовательностей — рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент x_i (первый член последовательности) и правило определения n-го элемента по (n-1)-му:

x_n=f(x_n-1).

Таким образом, x₂=ƒ(x_i), х₃=ƒ(х₂) и т. д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих.