П.6.4. Устойчивость на модельной задаче

Исследуем устойчивость разностной схемы (6.9) на модельной задаче

Для модельного уравнения схема примет вид

или

Последнее уравнение является частным случаем трехточечного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами:

(6.11)

В уравнении (6.11) любое его решение однозначно определяется заданием значений в двух соседних узлах сетки.

Если и два линейно независимых решения уравнения (6.11), то общее решение этого уравнения можно записать в виде линейной комбинации

(6.12)

Убедимся, что формула (6.12) в самом деле дает общее решение уравнения (6.11). Пусть - некоторое решение (6.11) и и - его значения в узлах и . Тогда из (6.12) получаем систему

Эта система однозначно разрешима относительно C₁ и C₂ в силу линейной независимости и .

Общее решение (6.12) можно найти явно. Для этого находим решение вида . Подставляя его в уравнение (6.11) получаем квадратное уравнение относительно q:

Для устойчивости разностной схемы должно выполнятся неравенство:

для любого i (6.13)

В нашем случае , поэтому неравенство (6.13) будет выполнятся, если

(*)

Квадратное уравнение для q в нашем случае имеет вид

,

где .

Дискриминант этого уравнения всегда положителен

Кроме того, в квадратном уравнении вида

условие на корни (*) выполняется, если при с ≤ 1, т.к.

В нашем случае , , поэтому условие устойчивости запишется в следующем виде:

Это неравенство выполняется при .

Т.о., условие устойчивости двухточечной схемы Адамса на модельной задаче примет вид .