Сходимость методов Рунге-Кутта второго порядка

Рассмотрим вопрос о сходимости схем семейства (4.6) в применении к модельной задаче:

разностная схема (4.6) принимает вид:

(5.1)

Выражая , получаем

(5.2)

введем теперь рекуррентную формулу для погрешности разностной схемы

(5.3)

Поскольку

,

то рекуррентную формулу для погрешности можно записать в следующем виде

, (5.4)

где .

Разложим функцию и в ряд Тейлора в окрестности , тогда

но

,

поэтому или .

Нетрудно убедиться, что q >0 для любых l, h и q ≤1 при условии , т.е.

Тогда из формулы (5.4) следует

,

т.е. схемы Рунге-Кутты второго порядка сходятся и имеют второй порядок точности для модельной задачи.