П.4.2. Построение семейства схем второго порядка тосности

Идея построения семейства разностных схем 2-го порядка точности состоит в следующем:

Пусть u(x) – решение задачи Коши

Разлагая решение по формуле Тейлора на интервале сетки длины h, имеем

(4.2)

В простейшем случае, ограничиваясь только первым членом разложения и заменяя на f(x,u), получаем для приближенного решения явную схему Эйлера, которая имеет 1-ый порядок точности

.

Можно предположить, что для получения схемы второго порядка точности надо в разложении (4.2) сохранить член со второй производной.

Заменим конечной разностью:

(4.3)

при соответствующем выборе величин . Причем для можно указать приближенную формулу

(4.4)

Из формул (4.2)-(4.4) получаем

Эта формула дает нам право искать разностные схемы второго порядка точности в следующем виде:

, (4.5)

где α, b, g - параметры, подлежащие определению.

Рассмотрим погрешность аппроксимации для схемы (4.5):

где , , , , .

Тогда можно вывести следующие соотношения:

,

С учетом этих соотношений погрешность аппроксимации примет вид:

Следовательно, чтобы погрешность аппроксимации имела второй порядок малости относительно h, необходимо и достаточно выполнения условий

Их можно переписать в следующем виде

введем обозначение , тогда семейство разностных схем (4.5), имеющих погрешность аппроксимации второго порядка, принимает вид однопараметрического семейства:

, (4.6)

где s - любое ненулевое число.

Численные методы решения задачи Коши, использующие разностные схемы семейства (4.6), называются методами Рунге-Кутта второго порядка точности.

Схему (4.6) можно переписать в форме «предикатор-корректор», в которой сначала считается промежуточное значение , а затем оно корректируется:

(4.7)

В частности, при , получаем схему Эйлера-Коши:

(4.8)

При - модифицируемую схему Эйлера:

(4.9)