П.3.2. Устойчивость схемы Эйлера на модельной задаче

Для разностных схем, используемых в приближенном решении дифференциальных уравнений, естественно требовать выполнения свойства устойчивости

.

Свойство устойчивости разностных схем связано с их сходимостью.

Исследуем устойчивость схемы Эйлера на примере решения модельного уравнения (3.3).

или ,

т.е. , если , т.е. для устойчивости достаточно выполнения условий .

Т.о., явная схема Эйлера условно устойчива, поскольку накладывается условие на шаг. Действительно, легко убедиться в том, что при большом шаге схема становиться неустойчивой при .

Пусть, например, , тогда , т.е. схема неустойчива.

Иначе обстоит дело с неявной схемой Эйлера. Рассмотрим ту же модельную задачу

или

и схема устойчива при для , поскольку .