П.2.1. Разностная схема

Метод Эйлера – простейший одношаговый метод. Его можно выводить исходя из разных соображений. Например, пусть u(x) – скалярная непрерывная дифференцируемая функция, т.е. в каждой точке x существует производная

тогда при малых h

и выражение можно использовать для разностной аппроксимации первой производной.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка

(2.1)

На отрезке введем сетку с шагом h, и в узлах сетки заменим производную ее разностной аппроксимацией. В результате получим систему уравнений для нахождения сеточной функции

(2.2)

Система (2.2.) называется разностной схемой Эйлера. Для нахождения имеем явную формулу

(2.3)

Аналогично можно получит неявную схему Эйлера

(2.4)

В этом случае, в качестве разностной аппроксимации для производной используется выражение