Однородные системы линейных уравнений

Определение 22. Система линейных уравнений называется однородной, если во всех ее уравнениях свободные члены равны нулю.

В общем случае однородная система (или система однородных уравнений) имеет вид

{a11x1+a12x2+...+a1nxn=0

{a21x1+a22x2+...+a2nxn=0

{…............................

{am1x1+am2x2+...+amnxn=0

Однородная система уравнений всегда совместна: действительно, набор значений неизвестных хi = 0 (i = l, 2,...,n) удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение однородной системы называется нулевым, или тривиальным.

Решение системы однородных уравнений

Вопрос о существовании ненулевого решения однородной системы линейных уравнений (1.53) разрешает следующая теорема.

Теорема 1.7. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше числа ее неизвестных.

Из этой теоремы вытекают два важных следствия.

1. Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение.

2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

определитель матрицы системы равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

16.Необходимое и достаточное условие существования нетривиального решения системы nxm:

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди этих решений есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной. При m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.