Собственные векторы симметричной матрицы. построение ортонормированного базиса

Определение 14. Число X называется собственным значением матрицы А порядка п, если существует такой ненулевой вектор х е R", что выполняется равенство

Ах = Хх. (1.26)

При этом вектор х называется собственным вектором матрицы А, аХ — собственным значением матрицы А, соответствующим вектору х.

Уравнение (1.26) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, его можно переписать в более удобном виде:

(А-ХЕ)х = 0. (1.27)

Проблема отыскания собственных значений и собственных векторов матриц составляет основу специального раздела алгебры — далее мы еще вернемся к этому вопросу. Здесь лишь отметим один важный результат алгебры матриц: для симметрических матриц (1.23) все п собственных значений являются действительными числами.

23.

24.Ортогональные матрицы. Построение ортогональной матрицы:

Любую матрицу, состоящую из попарно ортогональных нормированных столбцов, можно дополнить до ортогональной матрицы. Действительно, столбцов в такой матрице не может быть больше n. Если их n, то матрица ортогональна. Если же их меньше n, то можно присоединять новые столбцы до тех пор, пока не придем к ортогональной матрице.

25.Понятие квадратичной формы. Стандартный и канонический виды квадратичной формы:

26.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду:

Затем полный квадрат при х2 и невыраженное линейное преобразование (у1=.., у2=.., у3=...)