Пример 1. Записать в векторном виде

19. Собственные значения и собственные векторы матрицы:

Определение: Число λ называется собственным значени­ем матрицы А порядка п, если существует такой ненулевой вектор Rⁿ, что выполняется равенство

При этом вектор называется собственным вектором матрицы А, а λ — собственным значением матрицы А, соответствую­щим вектору .

Иными словами, умножение матрицы на ее собственный вектор равносильно удлинению этого вектора в |λ| раз, если |λ| > 1. Если λ = 1, умножение мат­рицы на соответствующий собственный вектор не меняет его. Уравнение (13.5) представлено в матричной форме. Группируя все слагаемые этого уравнения в левой части, перепишем его в более удобном виде:

где Е и — соответственно единичная матрица и нулевой век­тор.

Если a_ij — элементы матрицы А, то характеристическая матрица А — λ Е, согласно определениям умножения матрицы на число и суммы матриц, имеет вид