Системы линейных алгебраических уравнений

Общий вид и свойства системы уравнений

Система т линейных уравнений с п неизвестными (переменными) х1

х2,..., хn имеет вид

{a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1

{a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2

{….......................................

{am1x1+am2x2+...+amnxn=bm

Здесь аij и bi, — заданные числа (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), которые называются, соответственно, коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (1.35). Первый индекс у коэффициентов

при неизвестных означает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру неизвестного xt.

Решением системы уравнений (1.35) называется набор п чисел хх = оц,

х2 = а2,..., хn = аn при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (1.35) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений либо имеет одно решение и в таком случае называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Системы уравнений вида (1.35) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе.

• вычеркивание уравнения 0x1+0x20...+0xn= 0 — нулевой строки;

• перестановка уравнений или слагаемых aijXj в уравнениях;

• прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число;

• удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.

Матричная форма системы уравнений

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (1.35)

в матрицу

A=(a11 a12 … a1n)

(a21 a22 … a2n)

(…....................)

(am1 am2 … amn)

Эта матрица состоит из т строк и п столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных А' и матрицу свободных членов В (векторы-столбцы)

X=(x1), B=(b1)

(x2) (b2)

(....) (…)

(xn) (bm)

Тогда систему линейных уравнений (1.37) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен тхп, а размер X — n х 1, и значит, произведение этих матриц имеет смысл:

АХ = В.

(1.38)

Произведение матриц АХ является, как и В, матрицей-столбцом размера m x 1. Все уравнения системы (1.35) вытекают из уравнения (1.38) в силу определения равенства двух матриц (см. 1.2.1).

Введем в рассмотрение еще одну матрицу: дополним матрицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размера

тех (п+ 1):

о.,,

An=(a11 a12 … a1n b1)

(a21 a22 … a2n b2)

(…..........................)

(am1 am2 … amn bm)

Матрица Ав называется расширенной матрицей системы. Эта матрица играет важную роль в вопросе о разрешимости системы уравнений.