Базис и ранг системы векторов

Максимально независимой подсистемой системы векторов (1.10) называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям: а) векторы этого набора линейно независимы; б) любой вектор системы (1.10) линейно

выражается через векторы этого набора.

Определение 9. Максимально независимая подсистема системы векторов (1.10) называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами. Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа k ее векторов, то она может иметь несколько

базисов.

Определение 10. Система п векторов называется базисом пространства R", если:

1) векторы этой системы линейно независимы;

2) всякий вектор из R" линейно выражается через векторы данной

системы.

Матрица. Основные понятия и определения.

Определение 11. Прямоугольная таблица чисел вида

А=(а11 а12 … а1n

а21 а22 … а2n

…

аm1 am2 … amn)

называется матрицей. Здесь а^ — действительные числа (i = 1, 2,..., т; = 1,2,..., п), называемые элементами матрицы, i иу — соответственно, индексы строки и столбца. При этом произведение тп числа строк на

число столбцов называют размером матрицы А. Матрицу (1.19) записывают также в сокращенном виде:

А = /aij/,

i = 1, 2,..., т, j = 1, 2,..., п.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

В том случае, когда т = п (число строк равно числу столбцов), матрица А называется квадратной. Тогда число п называется порядком матрицы.

Упорядоченная совокупность элементов ап, а>2, -, а„„ называется главной диагональю квадратной матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если ненулевыми являются только элементы главной диагонали.

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все

элементы главной диагонали равны единице, а все другие элементы — нулю:

E=(1 0 … 0

0 1 … 0

…

0 0 … 1)

Определение 12. Две матрицы А а В называются равными (А = В), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: aij=bij; i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.

6.Линейные операции над матрицами

1. Сумма матриц. Суммой матриц А я В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Если

A=\aij\. B=|bij|; i=1,2,...,m.; j=1,2,...,n.

Умножение матрицы на действительное число. Произведением матрицы А на действительное число а называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента

матрицы А на число а.

3. Свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие из определения этих операций. Пусть А, В и С — матрицы, имеющие одинаковый размер,

а а и р — некоторые действительные числа. Тогда:

1) А + В = В + А;

2)(А + В) + С = А + (В + С);

3)а (А + В) = аА + аВ

4)(α +β)A= αA+ βA

5)(αβ)A=(αA)β

6)А + О = А, где О — нулевая матрица;

7)0*A =0.

Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А. Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А' имеет вид:

A'=(a11 a21 … am1

a12 a22 … am2

…

a1n a2n … amn)

Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы:

A=||aij||

A' = ||aji||;

i = 1, 2,..., m,

j = 1, 2,..., n.

Свойства операции транспонирования матриц:

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

А" = А.

(1.22)

2. Главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симметрические матрицы — квадратные матрицы, у которых элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, т. е. atj = о,,. Транспонирование таких матриц не меняет их вида, так что равенство

А = А'

(1.23)

также можно полагать определением симметрической матрицы.

1.2.4. Произведение матриц

1. Умножение матриц — это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матриц можно рассматривать как векторы-строки и векторыстолбцы соответствующих раз-

2. Свойства произведения матриц. Пусть А, В и С— матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а а — действительное число. Тогда имеют место следующие свойства

произведения матриц:

1) (АВ) С = А (ВС);

2) (А + В)С = АС + ВС;

3)А(В+С)=АВ+АС;

4) а (АВ) = (аА) В = Л (аВ).

В первом пункте этого раздела введено понятие единичной матрицы Е. Нетрудно убедиться, что в алгебре матриц она играет роль единицы, т. е. можно отметить еще два свойства, связанных с умножением на эту матрицу слева и справа:

5) АЕ = А;

6) ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.