![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Максимально независимой подсистемой системы векторов (1.10) называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям: а) векторы этого набора линейно независимы; б) любой вектор системы (1.10) линейно
выражается через векторы этого набора.
Определение 9. Максимально независимая подсистема системы векторов (1.10) называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами. Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа k ее векторов, то она может иметь несколько
базисов.
Определение 10. Система п векторов называется базисом пространства R", если:
1) векторы этой системы линейно независимы;
2) всякий вектор из R" линейно выражается через векторы данной
системы.
Матрица. Основные понятия и определения.
Определение 11. Прямоугольная таблица чисел вида
А=(а11 а12 … а1n
а21 а22 … а2n
…
аm1 am2 … amn)
называется матрицей. Здесь а^ — действительные числа (i = 1, 2,..., т; = 1,2,..., п), называемые элементами матрицы, i иу — соответственно, индексы строки и столбца. При этом произведение тп числа строк на
число столбцов называют размером матрицы А. Матрицу (1.19) записывают также в сокращенном виде:
А = /aij/,
i = 1, 2,..., т, j = 1, 2,..., п.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.
В том случае, когда т = п (число строк равно числу столбцов), матрица А называется квадратной. Тогда число п называется порядком матрицы.
Упорядоченная совокупность элементов ап, а>2, -, а„„ называется главной диагональю квадратной матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если ненулевыми являются только элементы главной диагонали.
Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все
элементы главной диагонали равны единице, а все другие элементы — нулю:
E=(1 0 … 0
0 1 … 0
…
0 0 … 1)
Определение 12. Две матрицы А а В называются равными (А = В), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны: aij=bij; i=1,2,...,m; j=1,2,...,n.
6.Линейные операции над матрицами
1. Сумма матриц. Суммой матриц А я В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В. Если
A=\aij\. B=|bij|; i=1,2,...,m.; j=1,2,...,n.
Умножение матрицы на действительное число. Произведением матрицы А на действительное число а называется матрица, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента
матрицы А на число а.
3. Свойства операций суммирования матриц и произведения матрицы на число, непосредственно вытекающие из определения этих операций. Пусть А, В и С — матрицы, имеющие одинаковый размер,
а а и р — некоторые действительные числа. Тогда:
1) А + В = В + А;
2)(А + В) + С = А + (В + С);
3)а (А + В) = аА + аВ
4)(α +β)A= αA+ βA
5)(αβ)A=(αA)β
6)А + О = А, где О — нулевая матрица;
7)0*A =0.
Транспонирование матриц
Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица А. Тогда, согласно определению, транспонированная матрица А' имеет вид:
A'=(a11 a21 … am1
a12 a22 … am2
…
a1n a2n … amn)
Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы:
A=||aij||
A' = ||aji||;
i = 1, 2,..., m,
j = 1, 2,..., n.
Свойства операции транспонирования матриц:
1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:
А" = А.
(1.22)
2. Главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.
Важную роль в алгебре и ее приложениях играют симметрические матрицы — квадратные матрицы, у которых элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, т. е. atj = о,,. Транспонирование таких матриц не меняет их вида, так что равенство
А = А'
(1.23)
также можно полагать определением симметрической матрицы.
1.2.4. Произведение матриц
1. Умножение матриц — это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матриц можно рассматривать как векторы-строки и векторыстолбцы соответствующих раз-
2. Свойства произведения матриц. Пусть А, В и С— матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а а — действительное число. Тогда имеют место следующие свойства
произведения матриц:
1) (АВ) С = А (ВС);
2) (А + В)С = АС + ВС;
3)А(В+С)=АВ+АС;
4) а (АВ) = (аА) В = Л (аВ).
В первом пункте этого раздела введено понятие единичной матрицы Е. Нетрудно убедиться, что в алгебре матриц она играет роль единицы, т. е. можно отметить еще два свойства, связанных с умножением на эту матрицу слева и справа:
5) АЕ = А;
6) ЕА = А.
Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 582 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!