Операции над векторами. Пусть векторы а и b (1.3) принадлежат n-мерному векторному пространству R"

Пусть векторы а и b (1.3) принадлежат n-мерному векторному пространству R". Будем называть суммой векторов а и b вектор с, координаты которого равны суммам соответствующих координат этих векторов:

с = а + b = (а1 + b1, a2+b2,..,an+bn)

Пустьλ — любое действительное число. Произведением вектора a на число λ будем называть вектор, координаты которого получаются умножением соответствующих координат вектора а на это число:

с = λа = (λa1, λa2, …, λan)

Из введенных таким образом операций над векторами вытекают следующие свойства этих операций. Пусть a, b и с — произвольные векторы n-мерного векторного пространства. Тогда:

1) a + b=b + a — переместительное свойство;

2) (а + b) + с = а + (b + с)— сочетательное свойство;

3) X (а + b) = Ха + Хb, где X — действительное число;

4) (λ+μ)a=λa+μa, где λ и μ — действительные числа;

5) λ(μa)=(λμ)a— действительные числа;

6) а + 0=а;

7) для любого вектора а существует такой вектор - а, что

-а=(-1)а,

а + (-а) = 0;

8) 0 • а = 0 для любого вектора а.

3.Линейная зависимость векторов

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной размерности. Такую совокупность называют системой векторов и

обозначают одной буквой и с разными порядковыми номерами:

а1, а2, …, ak.

Определение 7. Линейной комбинацией векторов (1.10) называется

вектор вида

b=λ1a1+λ2a2+...+λkak

где λ1, λ2, λ3 — любые действительные числа. В этом случае говорят

также, что вектор b линейно выражается через векторы (1.10) или разлагается по этим векторам.

Определение 8. Система ненулевых векторов (1.10) называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ1 λ2,..., λk, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

λ1a1+λ2a2+...+λkak

(1-12)

Если же равенство (1.12) для данной системы векторов (1.10) возможно лишь при λ1 = λ2 =... =λк = 0, то такая система векторов называется линейно независимой.

Если система векторов (1.10) является линейно зависимой, то в сумме (1.12) можно выбрать слагаемое, в котором коэффициент λ≠0, и выразить его через остальные слагаемые.

Укажем свойства системы векторов (1.10):

1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно неза-

висима.

2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.

3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится по крайней мере один вектор, который линейно выражается через остальные.

Для векторного пространства R" справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. В пространстве R" любая система, содержащая m векторов, линейно зависима при m > n.