Вопрос 24. Дифференцируемые функции. Критерий дифференцируемости

Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x, называется дифференцируемой в этой точке, если верна формула

f (x штрих ▲ x штрих) - f (x штрих) S Ai ▲ xi Sai ( ▲ x штрих) ▲ xi (3)

где i A – числа, а функции ai (▲ x штрих) удовлетворяют условию

ai (▲ x штрих)→ 0 ( i = 1,2,…, n ) при ▲ x →0. (4)

Теорема. Пусть функция f дифференцируема в точке x. Тогда в этой точке у нее существуют частные производные и выполнены равенства

(df(x штрих))/ (dxi)= Ai(i=1,2,…,n).

Доказательство. Из формулы (3) следует, что

(f (x1,...,xi-1,xi+▲ xi,xi+1,...,xn)- f (x1,...,xi-1,xi,xi+1,...,x n))/(▲Xi)= Ai+αi(▲Xi).

Переходя к пределу при ▲x i → 0, получим равенство (5).

Теорема (достаточные условия дифференцируемости функции). Если функция f имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки x штрих, причем все эти частные производные непрерывны в самой

точке x штрих, то указанная функция дифференцируема в этой точке.

Теорема (критерий дифференцируемости функции). Функция f  x , определенная в окрестности точки x, дифференцируема в этой точке тогда и только тогда, когда существует производная f ׳ x . При этом F  f ׳ x .

Доказательство. Пусть существует производная f ׳ x . Обозначим

at=((f(t)-f(x)/t-x)- f׳  x 

Тогда

ftfxt-xf׳xt-xαt,αt→0. (2)

Пусть теперь выполнено равенство (1). Тогда

(f(t)-f(x)/t-xFαt,limαt0.

Следовательно, существует производная f ׳ x  F.

Вопрос 25. Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций.