Вопрос 27. Производная обратной функции

Пусть f: [ a, b ] → [ c, d ] непрерывная, строго монотонная на интервале [ a, b ] функция, имеющая производную в точке х ₀ [ a, b ]. Тогда обратная функция g = f ^-1: [ c, d ] →[ a, b ] имеет производную в точке y ₀ = f (x ₀) интервала [ c, d ] равную

,

если f '(x ₀) ≠ 0. Если f '(x ₀) = 0, то g '(y ₀) = + ∞ (в случае, когда f возрастает), и g '(y ₀) = − ∞ (в случае, когда f убывает).
Доказательство. Пусть f (x) возрастает на [ a, b ] и f '(x) ≠ 0. Тогда в окрестности точки y ₀ = f (x ₀) существует обратная функция g = f ^-1; она непрерывна и также возрастает на [ c, d ], в силу чего g (y) ≠ g(y ₀), если у ≠ у ₀. Таким образом,

.