Вопрос 19. Классификация точек разрыва

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.

х₀

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

х₀

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х₀.

Пример. Функция f(x) = имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

.

Пример. f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

График этой функции:

Вопрос 20. Определение и основные теоремы о непрерывных функциях.

Определение: Функция f(x), определённая в окрестности точки х0, называется непрерывной в этой точке, если существует её передел в этой точке и выполнено равенство:

Теорема (о знаке непрерывной функции). Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и непрерывна в этой точке. Пусть . Тогда в некоторой окрестности этой точки .

Теорема (о непрерывности суммы, разности, произведения и частного функций).Пусть функции определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в этой точке. Тогда в этой точке непрерывна их сумма, разность, произведение. Если , то непрерывна в точке будет частное .

Теорема (о предельном значении непрерывной функции на сходящейся последовательности). Путь функция f(x)определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке. Тогда для любой числовой последовательности выполнено равенство

Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки и непрерывна в этой точке. Пусть функция z=F(y) определена в окрестности y0=f(x0) и непрерывна в этой точке. Тогда в некоторой окрестности точки определена сложная функция , которая является непрерывной в точке .

Теорема (о нуле непрерывной на отрезке функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и в концах этого отрезка она принимает значение разного знака. Тогда она обращается в нуль в некоторой точке этого отрезка.

Теорема (об ограничении непрерывной на отрезке функции) Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке, то есть

Теорема (Вейерштрасса).Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Тогда существует точка , в которой функция принимает наибольшее(наименьшее) значение, то есть

.

Теорема (о промежуточных значениях непрерывной функции). Пусть функция f(x)непрерывна на отрезке . Обозначим M(m) максимальное(минимальное) значение на этом отрезке. Тогда для любого числа найдётся точка такая, что f(t)=p.