Вопрос 15. Определение и предел числовой последовательности. основные теоремы о числовых последовательностях

Опред. Если каждому значению n=1,2,3… поставлено в соответствие действительное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность. Число а_n называется общим членом числовой последовательности, а сама последовательность обозначается {a_n} или просто а_n.

Предел числовой последовательности.

Опред. 1 Число А называется пределом числовой последовательности {a_n}, усли для любого ε>0 существует номер N=N(ε)такой, что |a_n-A|<ε для всех n>N.

Опред. 2 Число А называется пределом числовой последовательности (lim a_n=A,при n→∞), если начиная с некоторого номера все члены последовательности принадлежат интервалу a_n є (A-ξ; A+ξ).

Теорема 1(о единственности предела) Если последовательность имеет придел, то этот предел единственен.

Теорема 2 (оценочный признак существования предела) Пусть заданы три числовые последовательности a_n,b_n,c_n такие, что выполнены следующие условия: 1. a_n≤b_n≤c_n при всех n, начиная с какого-то номера. 2. a_n­→A, c_n→A. Тогда b_n→A.

Опред.1 Последовательность называется сходящейся, если существует ее предел.

Теорема1. (о пределе суммы, разности, произведения и частного двух числ. последовательностей)

Пусть a_n→A, b_n→B, тогда 1) (a_n+- b_n)→A+-B; 2) (a_n*b_n)→ A*B; 3) (a_n/b_n)→ A/B, если b_b≠0;B≠0.

Опред. 2 Последовательность a_n – называется ограниченной сверху(снизу), если существует число С такое, что для любого номера n выполнено неравенство a_n≤C (a_n≥C).

Теорема о существовании предела монотонно возрастающей ограниченной последовательности. Число e.

Опред.1 последовательность a_n – называется монотонно возрастающей(убывающей), если для любого nєN выполнено неравенство a_n≤a_n+1

Теорема 1. Если последовательность a_n монотонно возрастает(убывает) и ограниченна сверху(снизу), то она имеет предел.

Число e - экспонента≈2,7.