![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Точная верхняя и точная нижняя грани числового множества
Сделаем предварительно несколько замечаний о множествах.
Множество является одним из исходных понятий математики,
оно не определяется. Вместо слова “множество” можно говорить
о наборе, совокупности, собрании, коллекции. Но эти слова не
могут служить определением, они только поясняют понятие мно-
жества. Множество может содержать или не содержать те или иные
объекты, которые называют элементами. Если элемент x при-
надлежит множеству A, то пишут x ∈ A, а если x не принадлежит
множеству A, пишут x / ∈ A. Множество задаётся набором своих
элементов.
Общеприняты следующие стандартные обозначения:
N– множество натуральных чисел,
Z– множество целых чисел,
Q– множество рациональных чисел,
R– множество действительных чисел.
Наряду с множествами, содержащими какие-либо элементы,
рассматривают множество, не содержащее ни одного элемента.
Такое множество называют пустым и обозначают ∅. Если мно-
жество содержит хотя бы один элемент, его называют непустым.
Определение.
Если каждый элемент множества A принадлежит множеству B, то A называют подмножеством множе-ства B и пишут A ⊂ B или B ⊃ A.
Например,Q⊂R,N⊂Z⊂Q.
Так как пустое множество ∅ не имеет элементов, то считают, что ∅⊂ A для любого множества A.
Определение.
Если A ⊂ B и B ⊂ A (т. е. каждый элемент
множества A принадлежит B и каждый элемент B принадле-
жит A), то множества A и B называют равными и пишут A = B.
В противном случае пишут A 18 Гл. 1. Действительные числа
Условие 2) показывает, что M является наименьшим из чисел,
ограничивающих сверху все числа множества A.
Множество может иметь только одну точную верхнюю грань.
Действительно, допустим, что числа M и M∗различны и оба
являются точными верхними гранями непустого множества A.
Пусть для определённости M∗< M. Так как M – точная верх-
няя грань, то в силу условия 2) существует число x∗∈ A такое, что M∗< x∗. Значит, M∗ не может быть точной верхней гранью множества A.
Определение.
Число m называется точной нижней гранью
непустого множества A, если
1) для любого числа x ∈ A имеем m § 1.3. Точная верхняя и точная нижняя грани множества 19
эквивалентна такой задаче для неотрицательных чисел из A. По-
этому мы вправе исключить из множества A все отрицательные числа.
Так как числа из A ограничены сверху, то ограничены сверху
целые части этих чисел. Значит, существует наибольшее число
среди этих целых частей. Обозначим его M0.
Выберем те числа из A, у которых целая часть равна M0, и
рассмотрим первые десятичные знаки таких чисел. Пусть M1 –
наибольший из этих первых десятичных знаков.
Будем далее рассматривать только те числа из A, десятич-
ная запись которых начинается с M0, M1. Наибольший второй
десятичный знак этих чисел обозначим M2. Снова оставляем
только такие числа из A, десятичная запись которых начинается с M0, M1 M2, и проводим аналогичные рассуждения с третьим десятичным знаком.
Продолжив неограниченно этот процесс, получим бесконечную десятичную дробь M0, M1M2....Положим M:= M0, M1M2... и покажем, что M = sup A.
По построению M 20 Гл. 1. Действительные числа
Тогда число M:= −M0, M1 M2... является точной верхней
гранью множества A. В самом деле, неравенство x § 1.4. Сложение чисел 21
не принадлежат множеству или их принадлежность множеству
неизвестна или не обсуждается, пишут sup A и inf A.
Вопрос 4. Уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл углового коэффицента.
Опред.1
- уравнение прямой на плоскости.
у= kх+β – уравнение прямой через угловой коэффициент.
Геометрический смысл углового коэффициента
k= tgα – угловой коэффициент равен тангенсу угла между прямой и осью ОX.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 514 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!