Вопрос 3. Теорема о существовании точной верхней и нижней грани

Точная верхняя и точная нижняя грани числового множества

Сделаем предварительно несколько замечаний о множествах.

Множество является одним из исходных понятий математики,

оно не определяется. Вместо слова “множество” можно говорить

о наборе, совокупности, собрании, коллекции. Но эти слова не

могут служить определением, они только поясняют понятие мно-

жества. Множество может содержать или не содержать те или иные

объекты, которые называют элементами. Если элемент x при-

надлежит множеству A, то пишут x ∈ A, а если x не принадлежит

множеству A, пишут x / ∈ A. Множество задаётся набором своих

элементов.

Общеприняты следующие стандартные обозначения:

N– множество натуральных чисел,

Z– множество целых чисел,

Q– множество рациональных чисел,

R– множество действительных чисел.

Наряду с множествами, содержащими какие-либо элементы,

рассматривают множество, не содержащее ни одного элемента.

Такое множество называют пустым и обозначают ∅. Если мно-

жество содержит хотя бы один элемент, его называют непустым.

Определение.

Если каждый элемент множества A принадлежит множеству B, то A называют подмножеством множе-ства B и пишут A ⊂ B или B ⊃ A.

Например,Q⊂R,N⊂Z⊂Q.

Так как пустое множество ∅ не имеет элементов, то считают, что ∅⊂ A для любого множества A.

Определение.

Если A ⊂ B и B ⊂ A (т. е. каждый элемент

множества A принадлежит B и каждый элемент B принадле-

жит A), то множества A и B называют равными и пишут A = B.

В противном случае пишут A 18 Гл. 1. Действительные числа

Условие 2) показывает, что M является наименьшим из чисел,

ограничивающих сверху все числа множества A.

Множество может иметь только одну точную верхнюю грань.

Действительно, допустим, что числа M и M∗различны и оба

являются точными верхними гранями непустого множества A.

Пусть для определённости M∗< M. Так как M – точная верх-

няя грань, то в силу условия 2) существует число x∗∈ A такое, что M∗< x∗. Значит, M∗ не может быть точной верхней гранью множества A.

Определение.

Число m называется точной нижней гранью

непустого множества A, если

1) для любого числа x ∈ A имеем m § 1.3. Точная верхняя и точная нижняя грани множества 19

эквивалентна такой задаче для неотрицательных чисел из A. По-

этому мы вправе исключить из множества A все отрицательные числа.

Так как числа из A ограничены сверху, то ограничены сверху

целые части этих чисел. Значит, существует наибольшее число

среди этих целых частей. Обозначим его M0.

Выберем те числа из A, у которых целая часть равна M0, и

рассмотрим первые десятичные знаки таких чисел. Пусть M1 –

наибольший из этих первых десятичных знаков.

Будем далее рассматривать только те числа из A, десятич-

ная запись которых начинается с M0, M1. Наибольший второй

десятичный знак этих чисел обозначим M2. Снова оставляем

только такие числа из A, десятичная запись которых начинается с M0, M1 M2, и проводим аналогичные рассуждения с третьим десятичным знаком.

Продолжив неограниченно этот процесс, получим бесконечную десятичную дробь M0, M1M2....Положим M:= M0, M1M2... и покажем, что M = sup A.

По построению M 20 Гл. 1. Действительные числа

Тогда число M:= −M0, M1 M2... является точной верхней

гранью множества A. В самом деле, неравенство x § 1.4. Сложение чисел 21

не принадлежат множеству или их принадлежность множеству

неизвестна или не обсуждается, пишут sup A и inf A.

Вопрос 4. Уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл углового коэффицента.

Опред.1

- уравнение прямой на плоскости.

у= kх+β – уравнение прямой через угловой коэффициент.

Геометрический смысл углового коэффициента

k= tgα – угловой коэффициент равен тангенсу угла между прямой и осью ОX.