Отделение корней

Говорят, что корень x* уравнения (1) отделен на отрезке [a,b], если он содержится в данном отрезке и других корней в этом отрезке нет. Провести полное отделение корней означает: разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится ровно по одному корню или не содержится вовсе.

Рассмотрим графический метод отделения корней.

Отделение корней уравнения f(x)=0 графическим методом начинают с построения графика функции y=f(x). Абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс и есть корни уравнения. Иногда построить график функции y=f(x) достаточно сложно. Тогда уравнение f(x)=0 преобразовывают к виду f₁(x)=f₂(x) так, чтобы графики функций f₁(x) и f₂(x) было легче построить. Абсциссы точек пересечения этих графиков и есть корни уравнения.

При графическом отделении корней уравнения результат зависит от точности построения графиков. Поэтому используем аналитический численный метод отделения корней, основанный на следующем факте: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], принимает на концах этого отрезка значения противоположных знаков, а производная f'(x) на интервале (a;b) сохраняет постоянный знак, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x)=0. Этот критерий успешно применяется для уравнений f(x)=0, для которых знак производной определяется несложно.

Пример. Рассмотрим уравнение x³-3x-0,4=0 и отрезок [-2;-1]. Функция f(x)=x³-3x-0,4 непрерывна на данном отрезке. На концах отрезка функция принимает значения противоположных знаков: f(-2)=-2,4 и f(-1)=1,6. Очевидно, что для всех производная f'(x)>0, так как f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1). Следовательно, на интервале (-2;-1) находится корень уравнения и он единственный. Аналогично можно убедиться в том, что внутри отрезков [-1;0], [1;2] находится также по одному корню.