![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Численные методы СЛАУ можно разделить на точные и приближенные.
Метод решения системы является точным, если он дает принципиальную возможность получить решение системы после конечного числа алгебраических операций. К ним относятся метод Крамера, подстановки, метод последовательного исключения неизвестных и его модификации.
Приближенными методами являются те методы, которые позволяют получить только приближенные решения, причем количество итераций зависит от точности. К ним относятся метод простой итерации, метод Зейделя, метод ортогонализации и др.
Метод Гаусса
Метод Гаусса позволяет в процессе преобразования матрицы не только находить решения системы, но и решать вопрос о существовании и количестве решений матрицы.
Из основной теоремы высшей алгебры известно, что если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен количеству уравнений в системе, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы, но меньше количества уравнений в системе, то система имеет бесконечное число решений. Если ранг матрицы меньше ранга расширенной матрицы, то система не имеет решений.
Для определенности будем рассматривать только те СЛАУ, которые имеют единственное решение.
Система n линейных уравнений в общем виде выглядит так:
Метод последовательного исключения неизвестных с выбором главного элемента заключается в том, что матрица коэффициентов при неизвестных xприводится к треугольному виду: по главной диагонали – единицы, ниже главной – нули, а остальное как получится.
Рассмотрим метод на примере системы уравнений с 4-мя неизвестными. Разместим коэффициента матрицы и коэффициенты расширенной матрицы в таблице.
Предположим, что (важно).Разделим первую строку на коэффициент приx1.
;
Чтобы получить 0 во второй строке при х1, мы должны из второй строки вычесть преобразованную первую, умноженную на a21:
;
;
Деление повторять дополучения нулей ниже главной диагонали:
Обратный ход заключается в следующем: из последней строки находим иксы.
;
;
;
;
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 502 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!