Точные и приближенные методы решения систем линейных уравнений. Метод квадратных корней

Численные методы СЛАУ можно разделить на точные и приближенные.

Метод решения системы является точным, если он дает принципиальную возможность получить решение системы после конечного числа алгебраических операций. К ним относятся метод Крамера, подстановки, метод последовательного исключения неизвестных и его модификации.

Приближенными методами являются те методы, которые позволяют получить только приближенные решения, причем количество итераций зависит от точности. К ним относятся метод простой итерации, метод Зейделя, метод ортогонализации и др.

Метод квадратных корней

Если матрица коэффициентов при неизвестных СЛАУ симметрическая, то метод Гаусса значительно упрощается().

Пусть дана система уравнений , где A может быть представлена в виде двух треугольных транспонированных матриц, где Т-верхняя, а - нижняя треугольная матрица.

Тогда система принимает следующий вид , где

Решение исходной системы последовательно сходится к решению и

=

;

;

;

; и т.д.

;

;

выражаем ;

;

выражаем ;

;

;

; ; ;