Основы теории погрешностей

Мерой точности приближенных чисел является погрешность. Различают два вида погрешностей: абсолютную и относительную.

Абсолютная погрешность некоторого числа равна разности между его истинным значением и приближенным значением, полученным в результате вычислений. ∆x=x-a

Относительная погрешность – отношение точного значения к приближенному значению.

бх=

Максимальное значение абсолютной и относительной погрешности называют предельной абсолютной и предельной относительной погрешностью соответственно. На практике, если нет специальной договоренности, абсолютная погрешность числа считается равной единице последнего разряда.

Источники погрешностей:

1. Неточное изображение реальных процессов с помощью математики.

2. Приближенные значения некоторых величин, участвующих в решении задач (π=3,14154; e=2,7218).

3. Замена бесконечных процессов конечными.

4. Округление исходных данных, промежуточных и конечных результатов.

5. Результат действия над приближенными числами.

Математическая модель для определенного процесса может внести существенные погрешности, если в ней не учтены какие-либо важные черты рассматриваемой задачи. В частности мат. модель может прекрасно работать в одних условиях и быть неприемлемой в других. Поэтому важно учитывать её особенности. Исходные данные в задаче – основной источник погрешности. Вместе с погрешностями, вносимыми мат. моделью они определяют неустранимые погрешности, т.к. они не могут быть уменьшены ни до начала решения, ни в процессе. Численный метод так же является источником погрешности. Это связано с заменой интеграла интегральной суммой, усечением рядов, интерполированием табличных данных и т.д. При вычислениях с помощью компьютера неизбежны погрешности округлений в связи с ограниченностью разрядной сетки.

Как правило, погрешность численного метода регулируема, т.е. теоретически она может быть уменьшена путём изменения некоторого параметра (шага интегрирования, числа члена усеченного ряда и т.д.). Для уменьшения погрешности округлений в связи с ограниченностью разрядной сетки можно использовать систему с более расширенной разрядной сеткой.