Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
В практических задачах часто возникает необходимость представлять сложную аналитическую функцию более простой, либо использовать функции, заданные таблично. Необходимо для дальнейшего исследования представить табличную функцию в виде аналитической.
Существуют различные способы получения таких функций. Один из них интерполирование. В общем виде, задачи интерполирования формулируются так:
Пусть функция y=f(x) задана в (n+1) точке x0,x1,…,xn своими значениямиy0,y1,…,yn, то есть y0=f(x0), …, yn=f(xn).
Требуется подобрать достаточно простую функцию , удовлетворяющую следующим условиям:
1) В точке x0,x1,…,xn, значения функции должны совпадать со значениями данной функции: , k=0,1,…,n.
2) Во всех остальных точках из области определения, выполняется приближенное равенство: .
Функция называется интерполирующей, процесс ее построения - интерполированием, точки x0,x1,…,xn - узлами интерполирования. Интерполирующая функция подбирается из определенного класса функций. Часто в качестве такой функции берется многочлен n-й степени, процесс построения такого многочлена - параболическое интерполирование.
Пусть функцияy=f(x) задана в (n+1) узле интерполирования своими значениями.
Многочлен
называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
Интерполяционный многочлен для n=4:
Как проверить, что это многочлен интерполяционный? По определению (первое условие).
Таблица конечных разностей. Свойства конечных разностей
Пусть функция y=f(xi) задана в (n+1) точке. Точки x0, x1, … - равноотстоящие, т.е. xi=x0+ih, гдеi=0..n, h=(b-a)/n.
Конечными разностями 1-го порядка называют числа, равные приращениям функции, т.е.
где k=0..n-1.
Конечными разностями второго порядка называют числа, равные приращениям конечных разностей 1-го порядка, т.е.
где k=0..n-2.
В общем случае конечные разности s-го порядка называют числа, равные приращению конечных разностей (s-1) порядка, т.е.
В результате вычислений получаем таблицу следующего вида. Верхняя диагональ используется для построения первой интерполяционной формулы Ньютона. Нижняя – для второй интерполяционной формулы Ньютона.
Рассмотрим свойства конечных разностей:
1) С – постоянная,
2)
3)
4) Это равенство показывает, что конечной разностью многочлена n-ой степени будет многочлен (n-1) степени.
Выясним, каким образом связаны значения конечных разностей и значения функции.
По определению конечных разностей первого порядка Следовательно, преобразуется к следующему виду:
Продолжая процесс, получим
Существует и обратная зависимость функции от конечных разностей.
s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 364 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!