В противном случае последовательность называется расходящейся

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {cn} = {1/n}. Пусть e – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

Существует ли такое N, что для всех n і N выполняется неравенство 1/N < e? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/e, то для всех n і N выполняется неравенство 1/n Ј 1/N < e, что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.