Части шара

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью. Если OP – радиус шара, перпендикулярый отсекающей плоскости, то точку P назовем в этом случае полюсом шара. Высотой шарового сегмента называется отрезок PO ₁, соединяющий полюс шара с центром основания шарового сегмента.

Шаровой сегмент можно рассматривать как тело, образованное вращением кругового сегмента вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде. Формулу объема шарового сегмента выводят так же, как и формулу объема шара, но интегрируют на промежутке (0; H) (H – высота шарового сегмента):

Следовательно, объем шарового сегмента равен

Шаровым сектором называется тело, образованное вращением кругового сектора вокруг оси, содержащей один из его граничных радиусов.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Поэтому его объем является суммой объемов шарового сегмента V ₁ и конуса V ₂: V = V ₁ + V ₂. Высота P ₁ O ₁шарового сегмента является также высотой и шарового сектора. Имеем

где r – радиус конуса. Пусть P ₁, P ₂ – полюса шара, O ₁ A = r. Из прямоугольного треугольника P ₁ AP ₂ находим r ² = H (2 R – H), следовательно,