Механический смысл производной

Пусть точка двигается с переменной скоростью по закону S= f(t). Для характеристики неравномерного движения используем понятие средней скорости за некоторый промежуток времени:
Тогда скорость на данный момент времени (мгновенная скорость) есть предел V_ср при условии, что.

Мгновенная скорость движения V(t) в момент времени t – это есть производная пути по времени – таким является механический (физический) смысл производной.

Геометрический смысл производной Пусть. Изобразим график функции кривой L. Возьмем точку М₀(х₀;у₀) и произвольную точку М (х;у). Секущая М₀ с осью ОХ. Угловой коэффициент с секущейaМ образует угол

.

Если т.М ® т .М₀, то х х®₀, то есть 0.®хD
Секущая М₀ М® М₀Т; М₀Т - касательная к графику функции в т.М₀
Следовательно, предельное положение секущей М₀М есть касательная М₀- b, где b®aТ, угол наклона касательной к оси ОХ. Тогда

- угловой коэффициент или угол наклона касательной к оси ОХ в точке М₀ - такой геометрический смысл производной.

Уравнение касательной к графику функции в точке х₀ находится по формуле:

(x) -(x _o ) =(x _o )(x - x _o )

21) Необхідна та достатня умови зростання та спадання функції.

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала , то функция монотонно возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции

Если в каждой точке интервала , то функция монотонно убывает на этом интервале.

Замечание: Приведенные условия являются только достаточными условиями монотонности, но не являются необходимыми. Например, функция возрастает во всей области определения, хотя ее производная обращается в нуль в точке , то есть не является строго положительной

22) Поняття екстремуму функції. Необхідна та достатня умови існування екстремуму функції.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума -локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

(Необходимое условие экстремума)

Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

функция непрерывна в окрестности точки ;

или не существует;

производная при переходе через точку меняет свой знак.

Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

она непрерывна в окрестности точки ;

первая производная в точке ;

в точке .

Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.

23) Дослідження функції на опуклість та опуклість. Точки перегину.

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)

Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости. (О необходимом условии существования точки перегиба)

Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.

24) Асимптоти графіка функції. Схема дослідження та побудови графіків функції.

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

Область определения и область допустимых значений функции.

Четность, нечетность функции.

Точки пересечения с осями.

Асимптоты функции.

Экстремумы и интервалы монотонности.

Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

Сводная таблица.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

25) Диференціал функції. Застосування диференціалу до наближених обчислень.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х.

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх,

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

26) Найбільше та найменше значення функції на проміжку. Знаходження max та min функції.

Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение функция принимает в точке , то будет локальным максимумом функции , так как в этом случае существует окрестность точки , такая, что .

Однако свое наибольшее значение функция может принимать и на концах отрезка . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение непрерывной на отрезке функции , надо найти все максимумы функции на интервале и значения на концах отрезка , то есть и , и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.

Наименьшим значением непрерывной на отрезке функции будет наименьший минимум среди всех минимумов функции на интервале и значений и .

27) Інтегрування як дія обернена до диференціювання.

Если функция f (x) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции f (x) и g (x) имеют первообразные на промежутке X, то

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция f (x) имеет первообразную на промежутке X, то для внутренних точек этого промежутка:

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

Если функция f (x) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

Неопределённый интегра́л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

Первообрáзной[1] или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

28) Знаходження невизначених інтегралів за допомогою таблиці. Інтегруван шляхом підстановки. Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где – монотонная, дифференцируемая функция; б) – новая переменная. В первом случае формула замены переменной имеет вид: . (6.1) Во втором случае: . (6.2) В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой. 29) Формула Ньютона-Лейбніца Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то

31) Основні поняття стереометріі. Аксиоми стереометрії.

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.