Понятие предела функции в точке. Свойства предела

Предел функции является в математическом анализе одним из основных понятий. Функция f(x) в точке х₀ предел имеет L. Если все значения х достаточно близки к х₀, то близко к L и значение f(x).

На бесконечности предел функции описывает поведение значения самой функции, когда аргумент ее становится бесконечно большим.

Предел функции обозначается в виде f(x) → L в случае, если х→а

К основным свойствам пределов функции относят:

• предел постоянной величины, который равен самой постоянной величины;
• предел суммы, который равен сумме пределов самих функций. Также по аналогии и предел разности функций равен разности пределов данных функций;
• предел суммы множества функций равен также сумме пределов таких функций. По аналогии рассчитывает и предел нескольких функций, который равен разности пределов данных функций;
• повышение предела произведения функции (постоянного коэффициента) на знак предела;
• произведению пределов функций равен предел произведения двух функций;
• расширенное свойство предела произведения, которое в том заключается, что предел произведения функций равен и произведению пределов данных функций;
• предел частного функций равен отношению пределов данных функций, но только в том случае, если предел знаменателя нулю не равен;
• предел функции степенной, где действительным числом является степень р;
• предел функции показательной, при которой основание b больше 0;
• предел функции логарифмической, в которой основание b больше 0;
• теорема «двух милиционеров», при которой «зажатой» остается функция f(x)между другими двумя функции, которые также стремятся к пределу А.

18) Прирост функции, прирост аргумента. Производная функции. Вычисление производной по определению.

Производная функции − одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция − восстановление функции по известной производной − называется интегрированием.

Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Оценку скорости изменения можно получить, вычислив отношение изменения функции Δ y к соответствующему изменению аргумента Δ x. В определении производной такое отношение рассматривается в пределе при условии Δ x → 0. Перейдем к более строгой формулировке: