Определение производной

Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x ₀. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x ₀, и ее производная определяется формулой

Для производной используются обозначения:

Для нахождения производной функции f(x) в точке x ₀ на основе определения следует выполнить следующие действия:

• Записать отношение ;
• Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на Δ x;
• Найти производную , вычисляя предел дроби. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x = x ₀.

В примерах ниже мы выведем производные основных элементарных функций, используя приведенное формальное определение производной. Эти функции составляют основной костяк в том смысле, что производные других функций можно выразить уже через них, применяя правила действий с производными.

19) Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства непрерывных функций. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Функция непрерывна в точке, если она в этой точке определена и пределы справа и слева существуют и равны значению в этой точке.

Пример: sing(x) - знак Х. Равна +1, если Х >0. Равна -1, если Х <0. Равна 0, если Х = 0.
В точке 0 разрыв. Функция не является непрерывной, т. к. предел слева = -1, справа = +1, а в точке = 0.

abs(sign(x)) = модуль знака Х. Равен +1 везде, кроме 0. В 0 = 0.
пределы справа и слева = +1. А в самой точке = 0. Не является непрерывной.

abs(x) = модуль Х. В нуле пределы справа и слева равны 0. Значение в 0 = 0. Функция в 0 непрерывная.

Функция непрерывна на отрезке, если она в каждой точке этого отрезка непрерывна.

Рассмотрим следующие вопросы, который касаются функций.

Если функция непрерывна, то она дифференцируема?
Если функция дифференцируема, то она непрерывна?
Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.
Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необходимо доказать озвученый факт или привести пример, который опровергает этот факт.

Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, данная функция является непрерывной и, что ее производная будет следующей:

Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:

данный предел равен 1, если и равен (-1), если , получаем, что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема.

20) Геометрическое и физическое содержание производной. Таблица производных.