Решение задачи Коши для обыкновенного диф. Ур. Методом Эйлера

F (x, y, y¢, y¢¢… y⁽ⁿ⁾) = 0 – обыкн. диф. уравнение. (1)

Иногда диф. ур. удается выразить произвольной высшей степени:

y⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y¢, y¢¢, …, y^(n-1)) (2)

Для (1), (2) имеет место три основных задачи: задача Коши, краевая задача и задача на собственное значение.

Для диф. ур. (2) можно сформулировать теорему о существовании и единственности решения уравнения.

В частном случае (2) можно записать диф ур.-ем первого порядка: y¢= f (x, y) (3)

Теорема Коши: если функция f (x, y) и f¢_у – непрерывны в области определения, то существует единственное решение у (х), удовлетворяющее начальному условию.

у½_{х =х0} = у₀ у (х₀) = у. (4)

След.-но общее решение (3): у = j (х, с), (с – const)

Частное решение: у = j (х, с₀).

Если обратиться к (2), то решение имеет вид у = j (х, с₁, с₂, …, с_п ), где const.-ы определяются из: (5)

Для решения обыкн. диф. ур. как первого, так и высших порядков существует аналитич. методы, уже известные нам. Но при более сложных видах уравнений и нач. условий эти методы не позволяют дать решение. След.-но прибегают к числ. методам, для реализации кот. вводится понятие сетки. Отрезок [a,b], на кот. ищется решение, разбивается на n частичных с шагом h. Если h = const, т.е. сетка является равномерной, то

x_k = x₀ + k h (k = 1,2,..)

В основе числ. решения лежит идея замены диф. ур. его дискретным аналогом.

( а₀) ¹ 0 (6)

Получение решения определяется по к предыдущим решениям. Этот метод наз. многошаговым. При к =1 – одношаговый

(7)

К одношаговым методам относ.: мет. Эйлера, видоизмен. мет. Эйлера, мет. Рунге-Кутта.

В (3) вместо независ. переменной х может быть t, следовательно, изучаются процессы, связанные со временем. Важной становится схема, по кот. реализуется решение (7):

1) явная схема: y_n+1 = y_n+ f (x_n, y_n) h (8)

2)неявная схема:

y_n+1 = y_n+f (x_n, y_n, y_n+1) h (9)

1)последнее решение ищется через предыдущее, 2) для нахождения последнего реш.-я надо решать систему нелинейных уравнений.

Выбор схемы влияет на скорость схождения решения и зависит от постановки задач.

Метод Эйлера. Пусть дано обыкн. диф. уравнение (1) с нач. условиями (2):

y¢= f (x, y) у (х₀) = у ₀

у¢ (х₀, у ₀) = f (x₀, y₀)= tg a₀. В точке М₁ ищем y¢:

у¢ (х₁, у ₁) = f (x₁, y₁)= tg a_{1 .}

Полученная ломаная, наз. ломаной линией Эйлера, и есть решением уравнения.

При D х_і = х_і+1 – х_і ® 0 и ломанная линия Эйлера ® к истинному решению y= f (x) в силу теоремы Коши.

у ₀, у₁ = у ₀ + f (x₀, y₀) h, у₂ = у ₁ + f (x₁, y₁) h, … у_п+1 = у _п + f (x_п, y_п) h.

Для удобства составляем таблицу