Сравнение функций

Определение (символ О). Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, d>0, такие, что |f(x)|£ c |g(x)| при |x-a|<d, x¹ a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x® a.

Данное определение переносится и на случай, когда x® ¥, x® ±¥.

Пример 12.

1. Так как |1/x²| £ |1/x| при |x| ³ 1, то 1/x² = O(1/x) при x ® ¥;
2. 1/x = O(1/x²) при x® 0 так как |1/x|£ 1/x² при |x|£ 1.

Запись f=O(1) при x® a означает, что функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

Определение (функции одного порядка). Если f=O (g) и g=O (f) при x ® a Þ f и g — одного порядка при x® a.

Пример 13. Функции f (x) = x (2+sin 1 /x) g (x) = x x ® 0 являются бесконечно малыми одного порядка при x® a, так как

f/g = (x (2+sin 1 /x)) /x = 2+sin 1 /x = | 2+sin 1 /x| £ 3 Þ f=O (g), g/f = 1 /| 2+sin 1 /x| £ 1 Þ g=O (f).

Определение (эквивалентные функции). Функции f (x) и g (x) называются эквивалентными при x ® a, если $ f(x): f (x) = f (x) g (x), где lim_{x® a}f (x) = 1.

Иначе говоря функции эквивалентны при x ® a, если предел их отношения при x ® a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами:

sin x ~ x, x ® 0

(1)

tg x ~ x, x ® 0, arcsin x ~ x, x ® 0, arctg x~ x, x ® 0

e^x- 1 ~ x, x ® 0

ln (1 +x) ~ x, x ® 0

(2)

m- 1 ~ mx, x ® 0

(3)

Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов.

Теорема. Пусть f(x)~ f ₁ (x), g(x)~ g ₁ (x) при x ® a Тогда если существует предел

lim _{x ® a}f ₁(x) /g ₁(x),

то существует

lim _{x ® a}f (x) /g (x),

причем

lim _{x ® a}f ₁(x) /g ₁(x) = lim _{x ® a}f (x) /g (x).

Определение (символ о). Говорят, что функция f является бесконечно малой по сравнению с g при x ® a, и пишут f=o(g), x® a, если выполнено соотношение f(x) = a(x)g(x), где lim_{x® a} a(x) = 0. Иначе говоря lim_{x® a} f(x)/g(x) = lim_{x® a} a(x) = 0.

Пример 15.

1. x ² = o (x) при x ® 0, так как lim _{x ® 0} x ² /x = lim _{x ® 0} x = 0;
2. 1 /x ² = o (1 /x) при x ® + ¥ так как lim _{x ® ¥} x/x ² = lim _{x ® ¥}1 /x = 0

Справедлива теорема.

Теорема. Для того, чтобы функции f(x), g(x) были эквивалентными при x ® a необходимо и достаточно, чтобы при x ® a выполнялось хотя бы одно из условий

f (x) = g (x) +o (g (x))

или

g (x) = f (x) +o (f (x)).

Заметим, что функции g(x) в первом условии и соответственно функция f(x) во втором называются главной частью функции f (x) (g (x) ).

Определение. Если f=o(g) при x® a и g(x) - бесконечно малая при x® a, то говорят, что f(x) - бесконечно малая более высокого по сравнению с g(x) порядка при x® a.

Пример 18. x²- бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с x при x® 0

Определение. Если f(x), g(x) -бесконечно большие при x® a и f=o(g) при x® a, то говорят, что g - бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f.

Пример 19. Функции f=x ³ +x ²+2 x+ 1, g=x ⁴+3 x ² -бесконечно большие при x® ¥, и так как lim_{x® ¥} f/g=0, то g — бесконечно большая более высокого порядка по сравнению с f

Отметим некоторые правила обращения с символами o(), O().