Понятие функции комплексной переменной. Предел, непрерывность, производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана дифференцируемости функции

Функция комплексной переменной

Непрерывнось функции

f(z) называется непрерывной в т. если

Производная

f(z)-непрерывная в D

Предположим существует производная в т. : f(z)-дифференцируемав т.

1. По горизонтальной оси:
2. По вертикали

Условие Коши-Римана

(Необходимое условие)

Если ф-ция дифференцируема в т. , то выполняется условие Коши-Римана

Достаточное условие диференцируемости

Пусть f(z) в т. удовлетворяет условиям:

1) U и V являются дифференцируемыми как ф-ции двух вещественных переменных

2) U и V удовлетворяют условию Коши-Римана, тогда f(z) дифференцируема в т.

Функция наз-ся аналитической в точке, если она дифференцируема в этой точке и некоторой ее окрестности

Понятие функции. Способы задания функций и их классификация. Определение предела функции в точке по Гейне и по Коши и их эквивалентность. Замечательные пределы. Сравнение аналитического поведения функций.

Определение 1. Будем говорить, что a –предельная точка для множества E, если любая окрестность точки a содержит бесконечное подмножество множества E.

Пусть f:E ® R. Приведем несколько формулировок определения предела функции. Для разных оценок бывает удобна то одна, то другая.

Определение (предел функции по Коши). Число A Î R называется пределом функции f(x) в точке a или при x® a и это обозначается следующим образом lim _{x ® a}f (x) = A, если

" e > 0 $ d(e)>0: " x: 0 <|x-a|< d, Þ |f (x) -A|< e

Определение (предел функции по Гейне). A=lim_{x ® a}f(x)
означает, что

" x_n ® a при n ® ¥; x_n ¹ a, f (x_n) ® A при n ® ¥