Exercices. 126)Déterminer un trinôme du second degré admettant : a) les réels 2 et -5 comme racines ; b) le réel 3 comme racine

126) Déterminer un trinôme du second degré admettant: a) les réels 2 et -5 comme racines; b) le réel 3 comme racine double.

127) Écrire deux trinômes du second degré admettant chacun: a) -2 et 3 comme racines; b) 2 comme racine double.

128) Mettre les trinômes sous la forme canonique:

129) Écrire les trinômes sous la forme factorisée:

130) Écrire les trinômes sous la forme canonique:

131) Mettre les trinômes sous la forme factorisée:

132) Écrire chacun des polynômes suivants sous sa forme réduite, puis sous sa forme canonique:

133) Écrire les expressions suivantes sous la forme la plus simple:

134) Prouver que, pour tous les nombres x l’expression est positive.

135) Prouver que, pour tous les nombres x l’expression est négative.

136) Représenter les fonctions suivantes dans un repère:

137) Prouver que pour tous les nombres x.

3.2 Fonction trinôme du second degré

Mots à retenir

la fonction trinôme du second degré (квадратичная функция)

une allure (поведение)

la parabole est orientée vers le haut (ветви параболы направлены вверх)

la parabole est orientée vers le bas (ветви параболы направлены вниз)

le sens de variation (монотонность)

est croissante ( возрастает) est décroissante ( убывает)

la translation de vecteur... (параллельный перенос на вектор …)

Définitions

1) On appelle fonction trinôme du second degré, ou parfois seulement trinôme, toute fonction qui peut s’écrire sous la forme

2) La courbe représentative de f a donc pour équation C’est une parabole de sommet S (α; β), d’abscisse et d’ordonnée .

Remarque: lorsque le trinôme a deux racines distinctes x₁ et x₂, l’abscisse α du sommet de la parabole est la moyenne des deux racines:

Selon le signe du discriminant Δ de a, on peut préciser les différentes allures possibles pour la parabole :

· Si Δ > 0, s’annule pour deux valeurs, donc la courbe coupe l’axe des abcsisses en deux points.

· Si Δ = 0, la courbe et l’axe des abcsisses n’ont qu’un point commun.

· Si Δ < 0, ne s’annule pas, donc la courbe ne coupe pas l’axe des abcsisses.

· Si a > 0 la parabole est orientée vers le haut.

· Si a < 0 la parabole est orientée vers le bas.

Le tableau suivant illustre les six cas possibles.

Discriminant	Δ < 0	Δ = 0	Δ > 0
Solution de l’équation	Pas de solution	Une seule solution	Deux solutions distinctes
Position de la parabole	a > 0
a < 0

Par exemple:

1) La courbe représentative de la fonction définie par est une parabole de sommet S (2; 0). Comme a = 2, positif, la parabole est tournée vers le haut.

2) La courbe représentative de la fonction définie par est une parabole de sommet S (1; 5). Comme a = -2, négatif, la parabole est tournée vers le bas.

Méthode

Pour étudier les variations d’une fonction trinôme du second degré et tracer sa courbe représentative:

· On calcule l’abscisse du sommet et son ordonnée , en remplaçant x par α.

· Suivant le signe du coefficient de x² on obtient l’allure de la parabole, représentant f et on en déduit le sens de variation de la fonction f.

Par exemple: f est la fonction trinôme définie par .

Sa courbe représentative est la parabole de sommet S (-1; -4).

Comme a = 2, positif, la parabole est tournée

vers le haut. Δ = 16 > 0, s’annule

pour x₁ = -3 et x₂ = 1, donc la courbe coupe

l’axe des abcsisses en deux points.

Sa représentation graphique est donnée ci-contre.

On obtient le sens de variation:

est croissante pour [-1; +∞ [;

est décroissante pour ]– ∞; -1].

Méthode

Pour tracer la courbe représentative d’une parabole on peut utiliser la forme canonique du trinôme. Donc La translation de vecteur permet de passer de la parabole d’équation à la parabole d’équation

Par exemple:

On considère les fonctions .

En utilisant la translation de la parabole (1)

d’équation on peut tracer les courbes 1

représentatives des fonctions. 3

La translation de vecteur permet

de passer de la parabole d’équation

à la parabole (2) d’équation . 2

La translation de vecteur permet

de passer de la parabole d’équation à

la parabole (3) d’équation .