![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, вычисляя коэффициенты разложения по формуле , где
.
,
(интегрируя предыдущую формулу)
,
.
Пусть записано разложение функции в степенной ряд. Возникает вопрос, всегда ли это разложение (степенной ряд) сходится именно к этой функции, а не к какой-либо другой.
Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора сходился к той функции, по которой он построен, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при .
Доказательство. Запишем формулу Тейлора, известную из 1 семестра
Необходимость. Обозначим Sn – частичную сумму ряда Тейлора.
.
Если ряд Тейлора сходится к , то
. Но по формуле Тейлора
. Следовательно,
.
Достаточность. Если , то
, а
- частичная сумма ряда Тейлора. Поэтому ряд Тейлора сходится именно к функции
.
Теорема. Пусть все производные функции ограничены в совокупности одной константой.
Тогда ряд Тейлора сходится к функции
.
Доказательство. Оценим остаточный член формулы Тейлора
, так как показательная функция растет медленнее, чем n!. Поэтому (по предыдущей теореме) ряд Тейлора сходится к функции
.
В качестве примера применения теоремы рассмотрим разложение в ряд Маклорена функций sin x, cos x. Эти ряды сходятся к функциям, так как их производные ограничены в совокупности единицей на всей оси.
В разложении функции ex на отрезке [a, b] все производные функции ограничены константой eb, поэтому ряд для функции ex сходится к ней на любом конечном отрезке.
Ряды для функций sh x, ch x можно получить линейной комбинацией экспонент, следовательно, ряды для этих функций сходятся к ним на всей оси.
Рассмотрим разложение в ряд функции . Предположим, что ряд сходится к функции
. Можно, дифференцируя ряд почленно, установить справедливость соотношения
(выведите его в качестве упражнения). Решая это дифференциальное уравнение, получим
.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 221 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!