Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда

Рассмотрим монотонно убывающую последовательность , такую, что в точке степенной ряд расходится. Если выбрать , то степенной ряд будет сходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел. То есть .

Такое число называется радиусом сходимости степенного ряда. Следовательно, степенной ряд (по теореме Абеля) абсолютно сходится в интервале сходимости степенного ряда.