Теорема о непрерывности суммы ряда

Пусть члены функционального ряда - непрерывные функции в точке - внутренней точке области V. Пусть ряд сходится равномерно в области V. Тогда сумма функционального ряда – непрерывная функция в точке .

Доказательство. Так как ряд сходится равномерно в V, то

.

Так как - непрерывные функции в точке , то и непрерывна в как сумма конечного числа непрерывных функций.

Зафиксируем n>N. По непрерывности .

Оценим

.

Итак , то есть сумма функционального ряда – непрерывная функция в точке .