Теорема о почленном дифференцировании

Пусть непрерывны в V. Пусть ряд сходится в V, а ряд

.равномерно сходится в V. Тогда ряд можно почленно дифференцировать, причем ( = .

Доказательство. Так как ряд сходится равномерно, то его сумма - непрерывная функция (теорема о непрерывности суммы ряда). Ее можно интегрировать, применяя теорему о почленном интегрировании.

Дифференцируя, получим , то есть .