Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда

Пусть члены функционального ряда можно мажорировать (ограничить по модулю) в области V членами сходящегося числового знакоположительного ряда, .

Тогда функциональный ряд равномерно сходится в области V.

Доказательство. Так как числовой ряд сходится, то для него выполнен критерий Коши (ряд знакоположителен, ).

Тогда

.

Следовательно, выполнен критерий Коши равномерной сходимости ряда, и ряд сходится в области V равномерно.

Пример. Ряд сходится равномерно в R, так как - сходящийся числовой ряд.