Первый признак сравнения рядов

Пусть выполнено неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Замечание. В силу свойства сходящихся рядов, конечное число членов ряда не влияет на сходимость и неравенство можно проверять «начиная с некоторого n». Поэтому эту фразу часто можно встретить в теоремах о рядах. Иногда ее просто опускают, но ее всегда надо иметь в виду.

Доказательство. 1) Пусть ряд сходится. Тогда выполнено неравенство . Поэтому последовательность частичных сумм ограничена сверху числом . Но эта последовательность не убывает. Следовательно, по теореме Вейерштрасса . Последнее неравенство справедливо в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве.

2) Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по п.1 доказательства и ряд сходится. Противоречие. Следовательно, ряд расходится.

Пример. Ряд расходится, так как , а ряд (гармонический) расходится.