Лекция 10. Числовые ряды и их свойства

Числовой ряд – это сумма бесконечного количества чисел, выбранных по определенному алгоритму. Обычно задают формулу общего члена ряда .

Примеры

1. 1+ - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . Ее сумма равна ,

2. 1+1+1+…..Сумма этого ряда бесконечна.

3. 1-1+1-1… Сумма этого ряда не существует (ни конечная, ни бесконечная).

При изучении рядов возникает основной вопрос: «Сходится ли ряд». Отвечая на этот вопрос для геометрической прогрессии, мы вычисляем последовательно 1+ , =1+ 1+ - суммы n членов ряда – частичные суммы ряда .

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда – он называется суммой ряда
.

Рядназывается расходящимся, если предел частичных сумм ряда бесконечен или вообще не существует.

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то .

Доказательство. . Пусть ряд сходится, тогда .

Необходимый признак позволяет отсеивать часть расходящихся рядов.

Достаточный признак расходимости. Если , то ряд расходится.

Доказательство (от противного). Пусть ряд сходится. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда Противоречие с .

Пример. Ряд расходится, так как

Пример Ряд расходится, так как .