Гармоническое поле

Скалярное поле называется гармоническим, если

- уравнение Лапласа.

Векторное поле называется гармоническим, если оно потенциальное (), а потенциал - гармоническое скалярное поле, т.е. .

Теорема. Для того, чтобы векторное поле было гармоническим, необходимо и достаточно чтобы оно было соленоидальным и потенциальным.

Необходимость. Если векторное поле - гармоническое, то оно потенциальное, т.е. , тогда оно соленоидально, так как .

Достаточность. Если векторное поле потенциальное, то . Так как оно еще и соленоидально, то 0 = . Следовательно, поле потенциально и его потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, поэтому векторное поле – гармоническое.

Так как гармоническое поле потенциально и соленоидально, то его свойства – свойства соленоидального поля и свойства потенциального поля.