Абсолютний екстремум

f(x) неперервна на [a,b]. Тоді згідно з 2-ю т.Вейєрштраса функція досягає на цьому сегменті своїх верхніх та нижніх меж. Найбільше і найменше значення f(x) на сегменті слід шукати в критичних і межових точках. Нехай x₁..x_k – критичні точки. Тоді max(f(x))=max{f(a),f(b),f(x₁)…f(x_k)}.

min(f(x))=min{f(a),f(b),f(x₁)..f(x_k)}.

Напрям опуклості графіка функції

f(x)- диференційовна на (a,b) => $ в " точці дотична на парал. OY.

Графік f(x) опуклий вниз(вгору) на (a,b), якщо він розташований не нижче (не вище) " своєї дотичної.

Теорема:

Нехай функція f(x) двічі диференційована на (a,b). Якщо "xÎ(a,b) f’’(x)³0 (f’’(x) £0) то графік функції опуклий вниз (вгору).

Доведення:

"xÎ(a,b) f’’(x)³0

Зробимо деякі геометричні побудови.

" xÎ(a,b), x¹с

MB-дотична.

MD||CX

AN=y, AB=Y, AD=f(c)

y-Y³0

Одержимо рівняння дотичної

BD/MD=tgÐBMD =(Y-f(c))/(x-c)=

f’(c) => Y=f(c)+f’(c)(x-c) (1)

Розкладемо f(x) в околі т. x=c за ф. Тейлора:

Y=f(x)=f(c)+(f’(c)(x-c))/1!+

+(f’’(e)(x-c)²)/2! (2)

З (1) та (2) => y-Y=(f’’(e)(x-c)²)/2!³0

=> y-Y³0