Теорема Ла-Гранжа

Нехай f(x) неперер.на [a,b] і диф. на (a,b), тоді

$ сÎ(a,b): f‘(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Доведення:

Введем допоміжну ф-ю:

вона задовольняє умови теор. Ролля

1) непер. на [a,b]

2) диф. на (a,b)

3) j(a)=j(b)=0

тоді $ сÎ(a,b): j‘(c)=0

j‘(x)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)

j‘(c)=f‘(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)

=> f‘(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Теорема Коші

Нехай f(x),g(x) неперер.на [a,b] і диф. на (a,b), g(x)¹0 "xÎ(a,b), тоді

g(b)=g(a),тоді ф-я задав. умови теор. Ролля => $ eÎ(a,b): g(e)=0, це суперечіть умові => g(b)-g(a)¹0.

Введем допоміжну ф-ю:

вона задовольняє умови теор. Ролля

1) непер. на [a,b]

2) диф. на (a,b)

3) j(a)=j(b)=0

тоді $ сÎ(a,b): j‘(c)=0

42) Правило Лапіталя

1) Нехай f і g диференційовані в деякому околі U точки a за винятком самої a.

2) g’(x)¹0 "xÎU

3) lim f(x)=lim g(x) (при x→a)

4) $lim(x→a) f’(x)/g’(x)=k (скінченне, або нескінченне)

Тоді існує lim(x→a) f(x)/g(x)=limf’(x)/g’(x)=k

Доведення:

Довизначимо функції f(x) і g(x) в точці x=a

f(a)=g(a)=0; В результаті одержимо, що ці функції неперервні в т.x=a. Непреривність цих функцій в інших точках околу U випливає з (1). Таким чином f(x),g(x) – непреривні на всьому U. Розглянемо довільний сегмент

ùx –будь-яка змінна,але не а.

(a,ùx)ÎU. На цьому сегменті функції f і g задовільняють умови т.Коши

$сÎ(a,ùx):f(ùx)-f(a)/(g(ùx)-g(a))=f’(c)/g’(c)

Оскільки f(a)=g(a)=0=>f(ùx)/g(ùx)=f’(c)/g’(c)

Відзначимо, що g(ùx)¹0, бо в супротивному випадку g(x) задовільнятиме умови т.Роля, з якої випливає, що $xÎ(a,ùx): g’(x)=0

Але це суперечить умові (2) нашої теореми. Нехай ùx→a+0. Тоді с→a+0.

Тоді з (4) випливає, що $lim(c→a+0)f’(c)/g’(c)=k.

lim(ùx→a+0)f(ùx)/g(ùx)=f’(c)/g’(c)=kАналогічно можна показати, що lim(ùx→a-0)f(ùx)/g(ùx)=k. Тоді lim(x→a)f(x)/g(x)=k.

43) Формула Тейлора для довільної функції

Нехай Y=f(X) диференційовна в деякому околі U т.Xo.

Для цієї функції можна побудувати наступний многочлен.

Pn(X)=f(Xo)+f’(Xo)(X-Xo)/1!+ +f’’(Xo)(X-Xo)²/2!+…

+f⁽ⁿ⁾(Xo)(X-Xo)ⁿ/n! (1)

Pn(Xo)=f(Xo), Pn’(Xo)=f’(Xo)…Pn⁽ⁿ⁾(Xo)=f⁽ⁿ⁾(Xo)

Якщо функція не є многочленом в степені n, то f(x)-Pn(X)¹0.

Rn+1(X)=f(x)-Pn(x) – залишковий член у формулі Тейлора

f(x)=Pn(x)+Rn+1(x) (2)

Формулу (2) можна подати у вигляді

Pn(X)=f(Xo)+f’(Xo)(X-Xo)/1!+ +f’’(Xo)(X-Xo)²/2!+…

+f⁽ⁿ⁾(Xo)(X-Xo)ⁿ/n!+Rn+1(x) (2’)

Якщо X-Xo=Dx=dx, f(x)-f(Xo)=Df

Df=å(i від 1 до n)dⁱf(Xo)/i!+Rn+1(x) (2’)

44) Теорема Тейлора про залишковий член. Загальна форма, форма Лагранжа і Коши

Нехай функція f(X) n+1 раз диференційовна в деякому околі т.Xo. Тоді для будь-якого X окола точки Xo. Тоді для будь-якого X окола U "X>0 $cÎ(X,Xo):

f(X)=å(I від 1 до n) f⁽ⁿ⁾(Xo)(X-Xo)ⁱ/i!+Rn+1 (1), де Rn+1=f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(X-Xo)^n-1/(p*n!)*((x-c)/(x-Xo))^p (2)

(1)– формула Тейлора

(2)– залишковий член в загальній формі

Нехай дано для "p>0 і "xÎU. Для визначеності X>Xo.Розглянемо допоміжну функцію відносно t:

j(t)=f(x)-f(t)-f’(t)*(x-t)/1!-…

-(fⁿ(t)/n!)(x-t)ⁿ-((x-t)/(x-x₀))^p*Rn+1(x) (3)

Покажемо, що ця функція задовольняє умови теореми Ролля на сегменті [x₀,x]. Дійсно j(t) -диференційована і неперервна. j(x₀)=(f(x)-f(x₀)-f’(x₀)(x-x₀)-

-f’’(x₀)(x-x₀)²/2!-…-fⁿ(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!)-Rn+1(x)=0.

j(x)=f(x)-f(x)-f’(x)(x-x)-…

-f’’(x)(x-x)/n!-Rn+1(x)((x-x)/(x-x₀))^p =0,

j(x₀)=j(x)

Таким чином умови теореми Ролля виконані, а значить $т.СÎ(x,Xo), така що j(с)=0. Знайдемо похідну функції j(t).

j’(t)=0-f’(t)-f’’(t)(x-t)/1!-f’(t)(-1)/1!-f’’’(t)(x-1)²/2!-f’’(t)2(x-t)(-1)/2!-…

-f⁽ⁿ⁺¹⁾(x-t)ⁿt/n!-f⁽ⁿ⁾(t)n(x-t)^n-1(-1)/n!-

-p(x-t)^p-1(-1)Rn+1(x)/(X-Xo)^p=

-f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(x-t)ⁿ/n!+p(x-t)^p-1Rn+

+1(X)/(X-X0)^p.

j’(c)=-f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-c)^n-p+1*(X-

-Xo)^p/pn!=f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-c)⁽ⁿ⁺¹⁾/pn!((x-

-Xo)/(x-c))^p.

Розглянемо різні форми залишкового члена

сÎ(X,Xo);

(c-Xo)/(x-Xo)<1;

(c-Xo)/(x-Xo)<q; 0<q<1

c=Xo+q(X-Xo);

x-c=(X-Xo)-q(X-Xo)=(X-Xo)(1-q)

Rn+1(c)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(Xo+q(X-Xo))(1-

-q)ⁿ⁺¹/pn!*((X-Xo)ⁿ⁺¹(X-Xo)^p/((X-

-Xo)(1-q))^p

Rn+1(c)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(Xo+q(X-Xo))(1-q)^n-p+1/pn!*(X-Xo)ⁿ⁺¹

1) p=n+1

Rn+1(X)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(Xo+q(X-Xo))/

/(n+1)!*(X-Xo)ⁿ⁺¹ – залишковий член у формі Лагранжа

Якщо X-Xo=dx, то

f⁽ⁱ⁾(Xo)(X-Xo)^I=dⁱf(Xo)

F⁽ⁿ⁺¹⁾(Xo+q(X-Xo))(X-

-Xo)ⁿ⁺¹f(Xo+q(X-Xo))

Тоді формулу Тейлора можна подати у вигляді:

F(X)=f(Xo)+å(i від 1 до n) dⁱf(Xo)/i!+dⁿ⁺¹(Xo+q(X-Xo))/(n+1)!

2) p=1

Rn+1(X)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(Xo+q(X-Xo))/n!*(1-

-q)ⁿ(X-Xo)ⁿ⁺¹ – залишковий член у формі Коши

45) Залишковий члену формі Піано

Нехай: 1) f(x) n раз диференційовна в замкнутому околі т.Xo; 2)n-та похідна функції неперервна в т.X. Тоді має місце подання: f(x)=Pn(x)+Rn+1(X), де Pn(x) - многочлен Тейлора для функції f(x), Rn+1(X)=d[(X-Xo)ⁿ] – залишковий член у формі Піано (a=d(b) при X→Xo, lim(X→0)a/b=0).

Запишемо формулу Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа, замінивши n на n-1:

f(x)=Pn-1(X)+Rn(X), Rn(X)=f⁽ⁿ⁾(c)(X-Xo)ⁿ/n!.

Якщо X→Xo, то C→Xo, f⁽ⁿ⁾(X) є неперервною функцією в т.Xo. Тоді lim(X→Xo)f⁽ⁿ⁾(X)=f⁽ⁿ⁾(Xo).

f⁽ⁿ⁾(c)=f⁽ⁿ⁾(Xo)+α(X), де lim(X→Xo)α(X)=0. Тоді одержимо Rn(X)=f⁽ⁿ⁾(Xo)(X-Xo)ⁿ/n!+α(X)(X-

-Xo)ⁿ/n!

f(X)=Pn-1(X)+f⁽ⁿ⁾(X)(X-Xo)ⁿ/n!+d[(X-Xo)ⁿ]

46) Розклад деяких елементарних функцій по формулі Тейлора (Маклорена)

1) Y=e^x;

Y⁽ⁿ⁾(x)=e^x;

Xo=0;

Y(0)=1;

Y⁽ⁱ⁾(0)=1

e^x=1+X/1!+X²/2!+…+Xⁿ/n!+o(Xⁿ)

2) Y=sin(x);

Y⁽ⁱ⁾(x)=sin(x+pi/2*i);

Xo=0;

Y(0)=0;

Y⁽ⁱ⁾(0)=0 при i=2k та (-1)^k-1 при i=2k-1

sin(x)=X-X³/3!+X⁵/5!-…+(-1)^n-1*X^2n-1 /(2n-1)!+o(X²ⁿ)

3) Y=cos(x)

cos(x)=1-X²/2!+X⁴/4!-…+(-1)ⁿ⁺¹

*X^2n-2/(2n-2)!+o(X²ⁿ)

4) Y=(1+x)^a

(1+x)^a=1+ax/1!+a(a-1)x²/2!+…

+a(a-1)(a-2)…(a-n+1)xⁿ/n!+o((1+x)^a)

5) Y=ln(1+x)

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+…

+(-1)^n-1xⁿ/n+o(ln(1+x))