Друга границя

Доведення:

Нехай n=[x] => n£x<n+1 (1)

1/(n+1)<1/x£1/n

(2)

із (1),(2) =>

за теоремою про зажату послідовність:

=>

Неск. малі і великі функції

Функція н. м., якщо її границя =0.

Зауваження 1:

Для неск. малих функцій властива неск. кількість елементів.

Зауваження 2:

Якщо функція має границю в т. а, тоді в деякому околі цієї точки f(x)=A+a(x).

Неск малі функції:

1) с<>0, функції мають один порядок.

2) 0 тоді а(х)-неск мала вищого порядку.

3) 1 – еквівалентні

4) ¹1 –непорівнені

Неперервність функції в точці

якщо $

Коші:

Гейне:

"{x_n}®a {f(x_n)®A}

Теорема:

Означ. за Гейне і Коші еквівалентні.

Означення:

Функція неперервна зправа (зліва)

Неперервність скл. функції

Функція утворена накладанням двох,або декількох функцій називається складеною.

Нехай x=j(t) неперервна в т. t₀,

а f(x) в т. х_0. x₀=j(x₀), тоді

f(j(t)) неперервна в т. t₀,то

Неперервність елементарних функцій

Найпростіші функції є неперервними в областях де вони визначенні.

Доведення:

Елементарними функціями наз. функції одержані за допомогою арифм. опер. та суперпозиції над найпростішими функціями.

Якщо елементарна функція визначена в околі якоїсь точки, то вона неперервна в ції точці.

3,4,5 Границі(наслідки із 2)

3)

4)

5)

(1+x)^m-1=y => (1+x)^m=y+1 =>

mln(1+x)=ln(1+y) =>

Границя степенево-показникової функції

y=U(x)^V(x) в т. х₀- ф. непер. U(x)>0

1) Якщо

U₀>0

y=U^V=e^VlnU

2) Якщо умови не виконані

3)

1.

2.

3.

якщо (¥×0) => 0/0

якщо 1^¥,0⁰,¥⁰, то

U^V=e^VlnU