Условия монотонности и постоянства функции

Т-ма если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b), и, если всюду на этом интервале f‘(x)=0, то функция () является постоянной на этом интервале.

Док-во: пусть х0 некоторая фикс точка на (a;b) а х любая точка этого интервала.

Сегменты х₀ ; х целиком принадлежит интервалу (а;в) поэтому ф-я диф и непрерывна на этом сегменте. По теореме Ла-Гранжа зн найдется точка А такая что f(x) – f(x₀ ) = (x-x₀ )*f”(A).

По условию производная f(x) = 0 всюду в интервале (а;b) значит f”(A) = 0. Мы получим f(x) = f(x₀). Это равенство означает что значение ф-и в любой т интервала = ее значению фикс точки. Это означает что ф-я постоянна на интервале.

Т-ма для того что бы диф на инт (а;b) ф-я не убывала (не возрастала) на этом промежутке необходимо и достатачно чтобы производная этой ф-и была неотрицательная (не положительная) везеде на инт.

Док-во:

1. Достатачность: Пусть f’(x)>=0 (<=0) везде на (а;b). Доказать что f(x) не убывает на (а;b). Пусть x и y любые две т из интервала удовлетворяющие x<y. Ф-я f(x) дифференцируема непрерывна на x y поэтому мы можем применить теорему Лагранджа, получим т А, из ху, т., что f(x)-f(y)=(y-x)f’(A).

Т.к. x<y, и f’(A)>=0(<=0) то получим f(x)-f(y)>=0(<=0) значит ф-я не убывает.

Доказано.

2. Необходимость пусть ф(х) диф на (а; б) и не убывает (не возрастсет). Док-ть что что f’(х)>=0 (<=0). Если ф-ция не убывает (не возрастает) то согласно теореме о монотонности ф-ции в т-ке пр-ная не может быть отр (пол).

Доказано.

Теорема для того, чтобы ф-ция f(x) возрастала (убывала) на (а;б) достаточно, чтобы её производная f’(x)>=0 (<=0) на этом интервале.

Док-во как достат в пред теореме.

48. Локальні екстремуми функції. Необхідна умова і 3 достатні умови.

Пусть f(x) задана на (a,b). Говорят, что f(x) имеет в т.x₀є(a,b) строгий локальный максимум (минимум), если сущ. некоторая окрестность т. х₀ значение функции в т-х которой f(x)<f(x₀), x<x₀ f(x)>f((x₀)

Локальный max и лок. min объединяются названием локальный экстремум ф-ции, а точки, в кот ф-ция имеет экстр., наз. точками экстремума ф-ции.

Необходимое условие экстремума.

Если ф-ция f(x) имеет в т.х₀ лок экстремум и диф-ма в этой точке, то производная ф-ции в этой точке =0.

F(x) диф-ма в т х₀ f^’(x₀)=0 -?

Док-во: пусть ф-я имеет в т х₀ максимум. Она диф-ма в т => в этой т сущ конечная пр-ная.

, Δx= x-x₀

f(x)-f(x₀)<0, x<x₀=>(f(x)-f(x₀))/Δx<0

x>x₀ (f(x)-f(x₀))/Δx<0

Т.к. одностор произв-е должны быть равными между собой, следует что f’(x₀)=0

Равенство нулю произв-й в точке явл необходимым, но недостаточн для сущ-я экстремума ф-и в этой точке.