Второе достаточное условие экстремума

Пусть в т х₀ (точка возможног экстремума) сущ вторая произвдная

Если f’’(x₀)<0, max, f’’(x₀)>0, min

F’(x)>0, x-x₀<0, f’(x)<0, x-x₀>0

х₀- точка максимума

аналогично для мимнимума.

Третье достаточное условие экстремума.

Пусть f(x) n раз диф-ма в некот окрестности т х₀ и n-1раз диф-ма в самой точке. F’(x₀)=f’’(x₀)-f⁽ⁿ⁾(x₀)=0 f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)≠0

N=2k-1 kєN

Тогда в точке х₀ ф-я принимает екстремума, min f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)<0-max.

Док-во:

Нехай n≥3, а f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0

це означає, що в околі т. х₀ ф-я зростає.

f⁽ⁿ⁾(x)<0, при x<x₀

f⁽ⁿ⁾(x)>0, при x>x₀

cÎ(x,x₀) або сÎ(х₀,х)

(х-х₀)^n-1 >0

Тоді f’(x) та f’’(x) мають один знак.

f(x)<0, при x<x₀

f(x)>0, при x>x₀

Приклад:

y=x⁴

y’=4x³=0 => x₀=0

y⁽⁴⁾=24

y’(0)=y’’(0)=y’’’(0)=0

y⁽⁴⁾=24>0

Отже х₀ - min