 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Тема 12. Исследование функций и построение графиков
|
|
12.1. Использование методов дифференциального исчисления
для исследования функций и построения графиков
Пусть на некотором интервале 
задана функция 
.
Теорема 1. Для того, чтобы функция , дифференцируемая на интервале , была постоянной на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этого интервала 
.
Теорема 2. Пусть функция дифференцируема на интервале .
1. Если в каждой точке этого интервала 
, то на этом интервале функция строго монотонно возрастает.
2. Если в каждой точке этого интервала 
, то на этом интервале функция строго монотонно убывает.
Определение 1. Точку 
называют точкой локального максимума функции , если для любой точки 
из некоторой окрестности точки 
выполняется неравенство 
.
Определение 2. Точку называют точкой локального минимума функции , если для любой точки из некоторой окрестности точки выполняется неравенство 
.
Определение 3. Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.
Теорема 3 (П. Ферма). Если функция определена на интервале 
и в некоторой точке 
достигает наибольшего или наименьшего значения, тогда либо 
, либо в точке производная функции не существует.
Следствие. (Необходимое условие существования локального экстремума). Если функция имеет в точке локальный экстремум, то либо , либо в точке производная функции не существует.
Определение 4. Точки промежутка , в которых или не существует, называют критическими точками
Определение 5. Точки промежутка , в которых , называют стационарными точками.
Теорема 4 (первое достаточное условие существования локального экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки .
1. Если при переходе через точку слева направо производная 
меняет знак с плюса на минус, то в точке функция имеет локальный максимум.
2. Если при переходе через точку слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке функция имеет локальный минимум.
3. Если при переходе через точку слева направо производная не меняет знак, то в точке функция не имеет локального экстремума.
Теорема 5 (второе достаточное условие существования локального экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в самой точке .
1. Если 
, то в точке функция имеет локальный минимум.
2. Если 
, то в точке функция имеет локальный максимум.
3. Если 
, то вопрос требует дополнительного исследования.
Алгоритм исследования функции
на строгую монотонность и наличие точек экстремума
1) Найти производную функции .
2) Решить любое из неравенств или . Выписать числовые множества, являющиеся решением каждого из указанных неравенств, указать промежутки возрастания и убывания функции.
3) Найти критические точки функции. Исследовать их с помощью одного из достаточных условий существования локального экстремума.
4) Вычислить значения функции в точках локального экстремума. Записать ответ.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 451 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
