Метод прямоугольников. Пусть требуется вычислить интеграл

I=

где f(x) –непрерывная функция. Для простаты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x) . В основе приближенного вычисления определенного интеграла I лежит его геометрический смысл: выражает площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a,b] на n равных частичных отрезков точками k= Длину каждого отрезка назовем шагом разбиения.

На каждом частичном отрезке [x_k: x_{k- 1}] выберем точку и вычислим f( Тогда по определению 9.1

Следовательно,

(9.15)

Формула (9.15) называется формулой прямоугольников.

Предположим, что существует непрерывная вторая производная (9.16)

где

Метод трапеций. Сумма площадей «прямолинейных» трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции aАВb, т.е.

где

- основания «прямолинейных» трапеций: -их высоты. Таким образом, получена приближенная формула

(9.17) которая называется формулой трапеций.

Метод параболических трапеций (метод Симпсона).

Просуммировав эти интегралы, получим:

или

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

Несобственные интегралы

Понятие несобственных интегралов.

При введении понятия определенного интеграла как предела интегральной суммы предполагалось, что выполняются следующие условия: 1) пределы интегрирования a и b являются конечными; 2) подынтегральная функция f(x) на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода. В этом случае определенные интегралы называются собственными. Если хотя бы одно из указанных условий не выполняются, то интегралы называются несобственными

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке называется предел I(b) при b

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке

Если пределы в правых частях этих формул (существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, если пределы не существуют или бесконечны, -то расходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной функции f(x) на промежутке обозначаемый

, предварительно представляют в виде

Тогда по определению

причём этот несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Теорема 1. (признак сравнения).

Если на промежутке определены две неотрицательные функции f(x) и интегрируемые на каждом конечном отрезке причем ,то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла

.

Теорема 2. (предельный признак сравнения).

Если на промежутке определены две положительные функции f(x) и интегрируемые на любом конечном отрезке и существует конечный предел

то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Теорема 3. Если на промежутке функция y=f(x) меняет знак несобственный интеграл сходится, то сходится также и .Отметим, что несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

Определение. Несобственным интегралом от функции f(x), непрерывной на промежутке [a;b] и имеющей бесконечный разрыв в точке x=b, или несобственным интегралом второго рода называется предел интеграла при :

.

Аналогично если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке х=а, то полагают

Если же функция f(x) имеет разрыв второго рода в некоторой внутренней точке с отрезка [a;b], то пользуясь свойством аддитивности определенного интеграла, данный интеграл представляют в виде суммы двух интегралов:

Теорема 4. (признак сравнения)

Пусть в левой окрестности точки b (точки a) определены две неотрицательные функции f(x) и , причем . Тогда из сходимости несобственного интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости несобственного интеграла следует расходимость интеграла .