Суммы Дарбу

Пусть на задана ограниченная функция и пусть - произвольное разбиение. ,

По определению числа

,

называются соответственно нижней и верхней интегральными суммами Дарбу f, соответствующими разбиению R. Это вполне определенные числа, зависящие от f и R.

Очевидно, что

Число называется верхним интегралом функции на . тогда существует точная верхняя грань

называемая нижним интегралом функции на .

Теоремы о существовании интеграла от непрерывной и монотонной функции на

Т е о р е м а 1. Если функция непрерывна на , то она интегрируема на .

Т е о р е м а 2. Функция, определенная на отрезке и монотонная на нем, интегрируема на нем.

Неравенства и теорема о среднем

Т е о р е м а 1. Если f и φ интегрируемы и удовлетворяют неравенству f(x)≤ φ(x) на , то

Т е о р е м а 2. Если f интегрируема на , то

где

Т е о р е м а 3 (о с р е д н е м). Если f и φ интегрируемы на и φ(x)≥0, то

где

С л е д с т в и е. Если в этой теореме f непрерывна на , то найдутся точки такие, что f(x₂)=М, f(x₁)=m и точка такая, что поэтому в случае непрерывной на функции f равенство (3) можно записать в виде

(a≤ ≤b).

Вторая теорема о среднем

Т е о р е м а. Если функция φ – неотрицательная неубывающая на отрезке , а f – интегрируемая на , то существует точка такая, что

Основные свойства определённого интеграла:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) Если .

6)Если .

7) Если - какая-либо первообразная функции f(x), то справедливо равенство:

которое называется формулой Ньютона-Лейбница.