Решение. Естественно предполагать, что рост цены на чебуреки приводит к уменьшению спроса на них, то есть ожидаемая оценка коэффициента отрицательная

Естественно предполагать, что рост цены на чебуреки приводит к уменьшению спроса на них, то есть ожидаемая оценка коэффициента отрицательная. Увеличение расходов на рекламу должно приводить к росту спроса на них, при этом разумно считать, что при большом уровне расходов каждый последующий рубль, вложенный в рекламу, должен давать меньшую отдачу, чем тот же рубль при более низком уровне расходов на рекламу. Иными словами, разумно предполагать, что для расходов на рекламу действует «эффект насыщения». Таким образом, ожидаемый знак оценки – «+», оценки – «-»,

оценка параметров модели с применением эконометрического пакета дает следующий результат.

Dependent Variable:

Variable	Coefficient	Std. Error	-Statistic	Probability
	957.335	129.218	7.409	0.0000
	-110.153	21.327	-5.165	0.0001
	255.529	62.225	4.107	0.0008
	-43.376	8.020	-5.408	0.0001
-squared	0.8778

Как мы видим, все коэффициенты значимы (на уровне) и их знаки соответствуют здравому смыслу и экономической интуиции.

, С помощью непосредственных вычислений получаем:

.

Приравнивая эту производную нулю и учитывая, что , получаем следующее значение цены, при которой максимизируется средний доход при фиксированных расходах на рекламу :

.

Подставляя вместо коэффициентов их оценки и полагая руб., получаем оценки оптимальной цены:

Аналогично предыдущему получаем

.

Приравнивая эту производную нулю и учитывая, что , получаем следующее значение расходов на рекламу, при которых максимизируется средний доход при фиксированной цене чебурека :

.

Подставляя вместо коэффициентов их оценки и полагая руб., получаем оценку оптимальных расходов на рекламу:

рассмотрим чистый доход как функцию двух переменных: . С помощью непосредственных вычислений получаем:

,

.

Приравнивая эти производные нулю, получаем систему уравнений относительно и :

Выражая из первого уравнения через и подставляя это выражение во второе уравнение, получаем относительно кубическое уравнение

.

Заменяя в этом уравнении коэффициенты их оценками , , , и решая уравнение с помощью какого-либо численного метода (например, используя встроенную процедуру Solver программы Microsoft Excel), получаем три решения системы :

Ясно, что второе и третье решения не имеют экономического смысла.

Покажем, что точка является точкой максимума функции . Вычислим вторые производные функции :

Для оценки матрицы вторых производных и ее определителя в точке получаем следующее выражение:

,

,

откуда сразу вытекает, что матрица отрицательно определена и, следовательно, точка – точка максимума функции .

Окончательно получаем, что при цене одного чебурека руб. и расходах на рекламу 272 руб. средняя величина чистой прибыли максимума.

Из результатов оценивания уравнения для количества проданных чебуреков (см. пункт ) следует, что все коэффициенты значимы на уровне, поскольку для каждой оценки соответствующее -значение (Probability) меньше .

Число степеней свободы модели есть , таким образом, доверительные интервалы для коэффициентов –

,

где, как обычно, – оценки стандартных ошибок (Std.Error), а . Используя результаты пункта , получаем:

Задача 19. В кейнсианской теории спрос на деньги зависит от доходов и процентных ставок. Рассмотрим следующую модель:

где – агрегат денежной массы (млрд. долл.), – валовой национальный продукт (ВНП) (млрд. долл.), – процентные ставки по 6-месячным государственным облигациям США (6 – month US Treasury Bills, ). В таблице представлены данные по этим переменным за период 1960 – 1983 гг. по экономике США.

Год					Год
	506.5	141.8	3.247			524.6	146.5	2.605
	565.0	149.2	2.908			596.7	154.7	3.253
	637.7	161.8	3.686			691.1	169.5	4.055
	756.0	173.7	5.082			799.6	185.1	4.630
	873.4	199.4	5.470			944.0	205.8	6.853
	992.7	216.5	6.562			1077.6	230.7	4.511
	1185.9	251.9	4.466			1326.4	265.8	7.178
	1434.2	277.5	7.926			1549.2	291.1	6.122
	1718.0	310.4	5.266			1918.3	335.5	5.510
	2163.9	363.2	7.572			2417.8	389.0	10.017
	2631.7	414.1	11.374			2954.1	440.6	13.776
	3073.0	478.2	11.084			3309.5	521.3	8.750

1) Найдите оценки коэффициентов регрессии . Интерпретируйте знаки коэффициентов.

2) Рассчитайте прогноз спроса на деньги при значениях: и .

3) Рассчитайте эластичность спроса на деньги по доходам и по процентным ставкам в двух точках и из 2). Сравните результаты.

4) Рассмотрим модель

Повторите 2) и 3) и сравните результаты, полученные по разным моделям. Сравните модели и . Какая из них вам представляется более предпочтительной?