Аксиоматика Колмогорова

Нередко встречаются случаи, когда невозможно выписать явные формулы для вероятностей произвольных событий. Такова ситуация, когда пространство элементарных событий является несчетным множеством. В таком случае вероятность можно изучать лишь сформулировав общие свойства, которые присущи вероятностям любых событий.

«Итак, назовем новое учение, цель которого состоит в том, чтобы давать определенное знание о случайных, неопределенных событиях, теорией вероятностей. Что же касается того, является ли теория вероятностей областью математики, то весь вопрос сводится к следующему: что мы подразумеваем под математикой? Если под математикой подразумевают только традиционные ее разделы – геометрию, арифметику и алгебру, то, конечно, в таком узком определении нет места ни для какой новой ветви. Я же в этом вопросе согласен с Декартом, который утверждал, что все исследования, направленные на изучение порядка и меры, принадлежат математике, независимо от того, что является их предметом и к чему относятся рассматриваемые порядок и мера» (Блез Паскаль, из письма к Пьеру Ферма от 28 октября 1654 г.)

До недавнего времени теория вероятностей представляла собой еще не сложившуюся математическую науку, в которой основные понятия были недостаточно четко определены. Эта нечеткость приводила нередко к парадоксальным выводам (вспомним парадоксы Бертрана). Естественно, что приложения теории вероятностей к изучению явлений природы были слабо обоснованы и встречали порой резкую и обоснованную критику. Нужно сказать, что эти обстоятельства мало смущали естествоиспытателей и их наивный теоретико-вероятностный подход в различных областях науки приводил к крупным успехам. Развитие естествознания в начале текущего (20-го) столетия предъявило к теории вероятностей повышенные требования. Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теории вероятностей и выяснении тех условий, при которых возможно использование ее результатов. Вот почему особенно важное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. При этом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положены некоторые предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта. Дальнейшее же е развитие должно строиться посредством дедукции из основных положений без обращения к наглядным представлениям, к выводам «согласно здравому смыслу» Иными словами, теория вероятностей должна строиться из аксиом также, как любая сформировавшаяся математическая наука - геометрия, теоретическая механика, абстрактная теория групп и т.д.

Впервые подобная идея была высказана и развита советским математиком С.Н.Бернштейном. При этом С.Н.Бернштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности.

Имеется иной подход, предложенный А.Н.Колмогоровым. Этот подход тесно связывает теорию вероятностей с современной математической теорией функций, а также теорией множеств.

… аксиоматическое построение основ теории вероятностей отправляется от основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического и статистического определений. Аксиоматическое определение вероятности, таким образом, как частные случаи включает себя и классическое и статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них. На этой базе удалось построить логически совершенное здание современной теории вероятностей и в т же время удовлетворить повышенные требования к ней современного естествознания.» (Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей»)

Таким образом, теория вероятностей является полноправной математической дисциплиной и, соответственно, нуждается в аксиоматической системе в качестве своего основания. Это должен быть набор аксиом (постулатов), принимаемых нами без доказательств, удовлетворяющих следующим трем условиям:

1) Независимость (любую из принятых аксиом нельзя вывести из остальных, так, что выведенная из других аксиома является не аксиомой, а теоремой)

2) Непротиворечивость (система аксиом не порождает противоречащих друг другу утверждений)

3) Полнота (систему нельзя дополнить независимым от уже принятых аксиом утверждений)

С другой стороны, введение определения вероятности «по классическому принципу» уже в случае геометрической вероятности приводит к тому, что вероятность любо элементарного события (исхода) – попадание в конкретную точку области - оказывается равной нулю.

Поэтому следует дать определение вероятности события для любого пространства элементарных событий Ω, не связанное с вероятностями элементарных исходов, а учитывающее те свойства вероятностей событий, которые имеют место для всех ранее данных определений вероятности (классического, статистического и геометрического).

Напоминание. Свойства вероятности

1) Р(А) ≥ 0

2) Р(Ω) = 1

3) Р(А₁ + А₂ +… А_m) = P (А₁)+P(А₂)+… P(А_m), при условии, что события А₁, А₂,… А_m попарно несовместны.

Эти три свойства лежат в основе аксиоматического определения вероятности. При этом свойство 3) постулируется для счетного множества попарно несовместных событий.

Определение. Совокупность подмножеств множества Ω (событий) называется σ-алгеброй (событий) А, если выполнены следующие условия:

1) Ω ϵ А

2) Если множества (события) А_i ϵ А, i = 1, 2, 3, …, то Σ^∞_i=1 A_i ϵ A

3) Если множество (событие) А ϵ А, то и Ā ϵ А

Замечание. Совокупность множеств (событий) называется (просто) алгеброй (событий), если для этих множеств выполняются условия 1) и 3), а условие 2) формулируется следующим образом: Если А₁ ϵ А и А₂ ϵ А, то А₁ + А₂ ϵ А. Нетрудно видеть, что данное условие слабее, так как оно следует из условия для σ-алгебры.

Определение (аксиоматическое определение вероятности). Пусть каждому событию А (то есть подмножеству А пространства элементарных событий Ω, принадлежащему σ-алгебре (событий) А, поставлено в соответствие число Р(А). Числовую функцию Р, заданную на σ-алгебре (событий) А, называют вероятностью (вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Система аксиом Колмогорова

1. Аксиома I. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вероятностью

2. Аксиома II. Аксиома II Р(Ω) = 1

3. Аксиома III (аксиома сложения) Р(А₁ + А₂ +… А_m) = P (А₁)+P(А₂)+… P(А_m), при условии, что события А₁, А₂,… А_m попарно несовместны

Замечание. Система аксиом Колмогорова является непротиворечивой (существуют реальные объекты, удовлетворяющие этой системе), но неполной, поскольку даже для одного и того же вероятностного пространства Ω вероятности в множестве (σ-алгебре) А могут выбираться различными способами

В современных пособиях система аксиом выглядит, как правило, следующим образом:

1) Аксиома I (Аксиома неотрицательности) Р(А) ≥ 0

2) Аксиома II (Аксиома нормированности) Р(Ω) = 1

3) Аксиома III (Расширенная аксиома сложения) Для любых попарно несовместных Р(А₁ + А₂ +… А_m+…) = P (А₁)+P(А₂)+… P(А_m)+…

Замечание. Вместо аксиомы могут использоваться Аксиома сложения и

4) Аксиома IV (Аксиома непрерывности) Если последовательность событий А₁, А₂,… А_m,… такова, что каждое событие является подмножеством следующего события и А₁ + А₂ +… А_m+… = А,

то lim P(A_m) = P(A), n → ∞

Замечание. Необходимость введения расширенной аксиомы сложения связана с рассмотрением событий (множеств), образованных бесконечным числом исходов (точек).

Замечание. Расширенная аксиома сложения и аксиома непрерывности равносильны, иными словами они являются эквивалентными утверждениями (из аксиомы III следует аксиома IV и наоборот)

Значение Р(А) называют вероятностью события А

Определенная таким образом вероятность Р(А) удовлетворяет следующим свойствам:

1. Р(Ω) = 1

2. Р(Ø) = 0, Ø – пустое множество (невозможное событие)

3. 0 ≤ Р(А) ≤ 1, А – произвольное событие

4. Р (Ā) = 1 ̶ Р(А), Ā - событие, противоположное событию А

5. Если множество (событие) А₁ является подмножеством множества (события) А₂, то P (А₁) ≤ P(А₂) («большему» событию соответствует большая вероятность)

6. Вероятность суммы (объединения) двух произвольных событий

Р(А₁ + А₂) = P (А₁) + P(А₂) ̶ Р(А₁ ∩ А₂), А₁ ∩ А₂ - произведение (пересечение) событий А₁ и А₂.

В случае, если события А₁ и А₂ несовместны,

Р(А₁ + А₂) = P (А₁) + P(А₂)

Замечание. Если пространство элементарных событий Ω является конечным или счетным множеством, то каждому элементарному исходу ω_i, i = 1, 2, … можно поставить в соответствие число Р, так что Σ^∞_i=1 р_i =1, где р_i = Р(ω_i)

Теперь рассмотрим случай, когда пространство элементарных событий Ω является множеством действительных чисел

R = (̶ ∞, + ∞). Для задания вероятности на числовой прямой можно взять произвольную неубывающую для любого х ϵ R непрерывную слева функцию F, удовлетворяющую условиям:

1. F (̶ ∞) = lim F(x) = 0, x → ̶ ∞

2. F (+ ∞) = lim F(x) = 1, x → + ∞

И каждому (множеству) событию А_х = (̶ ∞, х) поставить в соответствие вероятность Р(А_х) = F(x), а событию А = [x₁, x₂) – вероятность Р(А) = F(x₁) ̶ F(x₂).

Найденная таким образом для всех событий А = [x₁, x₂) числовая функция Р(А) удовлетворяет вышеперечисленным аксиомам

Таким образом, вероятность оказывается не только интуитивно ясной, родственной частоте численной характеристикой события, но и абстрактной величиной, правилом, ставящим в соответствие событию некоторое число.

«Вероятности играют для нас ту же роль, что и массы в теоретической механике: можно обсуждать движение планетарной системы, не зная масс отдельных планет и не рассматривая методов их действительного измерения. Можно также с пользой (для прояснения сути дела) изучать гипотетическое движение планетарной системы. Точно также и вероятностные модели могут быть полезны даже в том случае, когда описывают объекты, которые не могут наблюдаться или не заслуживают наблюдения.»

(В.Феллер «Введение в теорию вероятностей и ее приложение»)

Определение. Тройка (Ω, А, Р) называется вероятностным пространством

Замечание. Таким образом, понятие вероятностного пространства объединяет понятия исхода эксперимента, события и его вероятности.

Забегая вперед, можно сказать, что вероятностное пространство представлено двум множествами: пространством элементарных событий Ω, являющимся областью определения (функции) случайной величины, множеством подмножеств из Ω - σ-алгеброй А, являющейся областью определения функции «вероятность» и самой вероятности.